Question

（本小題滿分10分）

如圖，在四棱錐O－ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠ABC＝45°，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點．

（1）求異面直線AB與MD所成角的大小；

（2）求平面OAB與平面OCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

解：作AP⊥CD于點P，分別以AB、AP、AO所在直線為x、y、z軸建立坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，，0)，D(－，，0)，O(0，0，2)，M(0，0，1)．

z

O

（1）＝(1，0，0)，＝(－，，－1)，則cos＜，＞＝－，

故AB與MD所成角為．             …………………4分

M

（2）＝(0，，－2)，＝(－，，－2)，

D

設(shè)平面OCD法向量n＝(x，y，z)，則n·＝0，n·＝0，

即，取z＝，則n＝(0，4，)． ……………………6分

易得平面OAB的一個法向量為m＝(0，1，0)，

cos＜n，m＞＝，                                ……………………9分

故平面OAB與平面OCD所成二面角的平面角余弦值為．………………10分