Question

（本小題滿分10分）如圖，在四棱錐S—ABCD中，側棱SA＝SB＝SC＝SD，底面ABCD是菱形，AC與BD交于O點．
(Ⅰ)求證：AC⊥平面SBD；
(Ⅱ)若E為BC中點，點P在側面△SCD內及其邊界上運動，并保持PE⊥AC，試指出動點P的軌跡，并證明你的結論．

Answer 1

(1)證明：∵底面ABCD是菱形，O為中心，
∴AC⊥BD.又SA＝SC，∴AC⊥SO.而SO∩BD＝O，∴AC⊥面SBD.-----5分
(2)解：取棱SC中點M，CD中點N，連結MN，則動點P的軌跡即是線段MN.
證明：連結EM、EN，∵E是BC的中點，M是SC的中點，
∴EM∥SB.同理，EN∥BD，∴平面EMN∥平面SBD，
∵AC⊥平面SBD，∴AC⊥平面EMN.
因此，當點P在線段MN上運動時，總有AC⊥EP；
P點不在線段MN上時，不可能有AC⊥EP.------5分

略