題目列表(包括答案和解析)
如圖，在三棱柱ABC―A1B1C1中，側棱AA1 
底面ABC，AC＝3，BC＝4，AB＝5， AA1＝4，點D是AB的中點．
(1)求證：ACBC1；
(2)求證．AC1／／平面CDB1；
(3)求異面直線AC1，與B1C所成角的余弦值．
| x |
| x+1 |
| an+1 |
| an |
| ||
| 2 |
| 1 |
| an |
| 2 |
| 1 | bnbn+1 |
如圖，四棱錐S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P為BC邊的中點，SB與平面ABCD所成的角為45°，且AD=2，SA=1．
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
1．A 2．A 3．B 4．B 5．C 6．D 7．B 8．B
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
9．－
10．5 11．2，
12．12 13．26 14．－
注：兩個空的填空題第一個空填對得2分，第二個空填對得3分．
三、解答題（本大題共6小題，共80分）
15．（本小題滿分13分）
（Ⅰ）解：f（x）＝cos2x－sin2x+2
sinxcosx+1＝sin2x+cos2x+1
＝2sin
+1. ……………………………………………5分
因此f（x）的最小正周期為
，最小值為－1．……………………………7分
（Ⅱ）由f（
）＝2得2 sin
+1＝2，即sin＝． ………9分
而由∈
得2+
∈
．……………………………10分
故2+＝
．…………………………………………………………12分
解得＝
． ………………………………………………………………13分
16．（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）要得40分，8道選擇題必須全做對，在其余四道題中，有兩道題答對的概率為，有一道題答對的概率為
，還有一道題答對的概率為
，所以得40分的概率為
P＝×××＝
． ………………………………………………5分
（Ⅱ）依題意，該考生得分
的取值是20，25，30，35，40，得分為20表示只做對了四道題，其余各題都做錯，故求概率為P（＝20）＝××
×
＝
；
同樣可求得得分為25分的概率為
P（＝25）＝
××××+×××+×××＝
；
得分為30分的概率為P（＝30）＝；
得分為35分的概率為，P（＝35）＝
；
得分為40分的概率為P（＝40）＝．
于是的分布列為
20
25
30
35
40
P
………………………………………………………………………………11分
故E＝20×+25×+30×+35×+40×＝
．
該考生所得分數的數學期望為 ………………………………………13分
17．（本小題滿分14分）
解法一：
（Ⅰ）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1
底面
ABC，BC1在底面上的射影為CB．
由AC＝3，BC＝4，AB＝5，可得ACCB．
所以ACBC1………………………4分
（Ⅱ）過C作CEAB于E，連結C1E．
由CC1底面ABC可得C1EAB．
故∠CEC1為二面角C1－AB－C的平面角．
在
ABC中，CE＝
，
在RtCC1E中，tanC1EC＝
＝
，
故所求二面角的大小為arctan．……9分
（Ⅲ）存在點D使AC1∥平面CDB1，且D為AB中點，下面給出證明．
設BC1與CB1交于點O，則O為BC1中點．連接OD．
在△ABC1中，D，O分別為AB，BC1的中點，故OD為△ABC1的中位線，
∴OD∥AC1，又AC1
平面CDB1，OD
平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1．
故存在點D為AB中點，使AC1∥平面CDB1． ………………………………14分
解法二：
∵直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三邊長AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC，BC，CC1兩兩垂直．如圖以C為坐標原點，建立空間直角坐標系C－xyz，則
C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4）．
（Ⅰ）∵
＝（－3，0，0），
＝（0，－4，4），
∴?＝0，故ACBC1 ………………………………………………4分
（Ⅱ）平面ABC的一個法向量為m＝（0，0，1），設平面C1AB的一個法向量為
n＝（x0，y0，z0），
＝（－3，0，4），
＝（－3，4，0）．
由
得
令x0＝4，則z0＝3，y0＝3．
則n＝（4，3，3）．
故cos＜m，n＞＝
＝
．
所求二面角的大小為arccos. ………………………………………9分
（Ⅲ）同解法一 ………………………………………………………………………4分
18．（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）依題意有，f ′（x）＝a+
．……………………………………………3分
因此過（1，f（1））點的直線的斜率為a－1，又f（1）＝a，
所以，過（1，f（1））點的直線方程為y－a＝（a－1）（x－1）．…………4分
又已知圓的圓心為（－1，0），半徑為1，依題意，
＝1．
解得a＝1． …………………………………………………………………6分
（Ⅱ）f ′（x）＝a+.
因為a＞0，所以2－
＜2，又由已知x＜2．………………………………9分
令f ′（x）＞0，解得x＜2－，令f ′（x）＜0，解得2－＜x＜2． …11分
所以，f（x）的單調增區間是
，
f（x）的單調減區間是
．………………………………………13分
19．（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）由已知拋物線的焦點為（0，－
），故設橢圓方程為
+
＝1．
將點A（1，）代入方程得
+
＝1，整理得a4－5a2+4＝0，
解得a2＝4或a2＝1（舍）．
故所求橢圓方程為
+
＝1． …………………………………………6分
（Ⅱ）設直線BC的方程為y＝x+m，設B（x1，y1），C（x2，y2），
代入橢圓方程并化簡得4x2+2mx+m2－4＝0， …………………………9分
由＝8m2－16（m2－4）＝8（8－m2）＞0，可得m2＜8．
由x1+x2＝-
m，x1x2＝
，
故
＝
＝
．
又點A到BC的距離為d＝
， …………………………………………11分
故
＝?d＝
≤
?
＝，
當且僅當2m2＝16－2m2，即m＝±2時取等號（滿足＞0）
所以△ABC面積的最大值為． ………………………………………13分
20．（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）依題意有yn＝
+
，于是yn+1－yn＝．
所以數列
是等差數列． ………………………………………………4分
（Ⅱ）由題意得
＝n，即xn+xn+1＝2n，（n∈N*）①
所以又有xn+2+ xn+1＝2（n+1）． ②……………………6分
由②－①得xn+2－xn＝2，可知x1，x3，x5，…；x2，x4，x6，…都是等差數列．那么得
x2k－1＝x1+2（k－1）＝2k+a－2，
x2k＝x2+2（k－1）＝2－a+2（k－1）＝2k－a．（k∈N*）
故xn＝
……………………………………………10分
（Ⅲ）當n為奇數時，An（n+a－1，0），An+1（n+1－a，0），所以
＝2（1－a）；
當n為偶數時，An（n－a，0）An+1（n+a，0），所以＝2a；
作BnCnx軸，垂足為Cn，則
＝+，要使等腰三角形AnBnAn+1為直角三角形，必須且只需＝2.
當n為奇數時，有2（1－a）＝2
，即12a＝11－3n． ①
當n＝1時，a＝；當n＝3時，a＝
；當n≥5時，①式無解．
當n為偶數時，有12a＝3n+1，同理可求得a＝
．
綜上所述，上述等腰三角形AnBnAn+1中存在直角三角形，此時a的值為或 或. ………………………………………………………………………14分
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