Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P為BC邊的中點，SB與平面ABCD所成的角為45°，且AD=2，SA=1．
（Ⅰ）求證：PD⊥平面SAP，
（Ⅱ）求二面角A-SD-P的大小的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用勾股定理證明AP⊥PD，由 SA⊥底面ABCD，可得SA⊥PD，所以PD⊥平面SAP．
（Ⅱ）設Q為AD的中點，過Q作QR⊥SD，由三垂線定理可知，∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角．由三角形相似求得SD，從而求得QR，利用 tan∠PRQ=

PQ

QR

求出結果．

解答：證明：（Ⅰ）因為SA⊥底面ABCD，所以，∠SBA是SB與平面ABCD所成的角．
由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1易求得，AP=PD=

2

，
又因為AD=2，所以AD²=AP²+PD²，所以AP⊥PD．
因為 SA⊥底面ABCD，PD?平面ABCD，所以，SA⊥PD，
由于SA∩AP=A，所以PD⊥平面SAP．
（Ⅱ）設Q為AD的中點，連接PQ，由于SA⊥底面ABCD，且SA?平面SAD，
則平SAD⊥平面PAD．因為PQ⊥AD，所以PQ⊥平面SAD，過Q作QR⊥SD，垂足為R，連接PR，
由三垂線定理可知PR⊥SD，所以，∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角．
容易證明△DRQ∽△DAS，則

QR

SA

=

DQ

SD

因為DQ=1，SA=1，SD=

5

，
所以QR=

DQ

SD

•SA=

1

5

．（10分）在Rt△PRQ中，因為PQ=AB=1，
所以tan∠PRQ=

PQ

QR

=

5

所以二面角A-SD-P的大小的正切值為

5

．

點評：本題考查證明線線垂直、線面垂直的方法，求二面角的平面角，求出RQ的長度是解題的難點．