題目列表(包括答案和解析)
正四面體的棱長為a，則它的外接球的表面積等于（ ）
（A）
π a 2 （B）
π a 2 （C）
π a 2 （D）
π a 2.如圖所示，已知正四棱錐S—ABCD中，底面邊長為a,側(cè)棱長為
a.
（1）求它的外接球的體積；
（2）求它的內(nèi)切球的表面積.
a.
，它的外接球的球心為O，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是球O的球面上任意一點(diǎn)，有以下判斷，
；（3）存在過點(diǎn)E的平面，截球O的截面面積是3π；（4）三棱錐P-AEC1體積的最大值是20．
，它的外接球的球心為O，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是球O的球面上任意一點(diǎn)，有以下判斷，
；（3）存在過點(diǎn)E的平面，截球O的截面面積是3π；（4）三棱錐P-AEC1體積的最大值是20．
一、選擇題： （每題5分，共50分）
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
小計(jì)
答案
D
D
B
C
C
C
B
C
A
C
二、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分.
11． -5 12．7 13．（2，1） 14．例如：，分段函數(shù)也可（3分）；=a/3．（2分）
三、解答題:本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15．(12分)
已知：函數(shù)（）．解不等式：．
解：1）當(dāng)時(shí)，即解，（２分）
即，（４分）不等式恒成立，即；（６分）
2）當(dāng)時(shí)，即解（８分），即，（１０分）因?yàn)椋裕ǎ保狈郑?/p>
由1）、2）得，原不等式解集為．（１２分）
16．(本小題滿分12分)
解：１）
（２分） （４分）
（６分）
．（８分）
當(dāng)時(shí)（９分），取最大值．（１０分）
２）當(dāng)時(shí)，，即，（１１分）
解得，．(12分)
17．(本小題滿分14分)
1）證明：連接AC．
∵點(diǎn)A是點(diǎn)P在底面AC上的射影,(1分)
∴PA^面AC.(2分)
PC在面AC上的射影是AC.
正方形ABCD中,BD^AC,(3分)
∴BD^PC.(4分)
2)解:連接OS.
∵BD^AC,BD^PC,
又AC、PC是面PAC上的兩相交直線,
∴BD^面PAC. (6分)
∵OSÌ面PAC,
∴BD^OS.(7分)
正方形ABCD的邊長為a，BD=，（8分）
∴DBSD的面積．（9分）
OS的兩個(gè)端點(diǎn)中，O是定點(diǎn)，S是動(dòng)點(diǎn)．
∴當(dāng)取得最小值時(shí)，ＯＳ取得最小值，即OS^PC．（10分）
∵PC^BD， OS、BD是面BSD中兩相交直線，
∴PC^面BSD．（12分）
又PCÌ面PCD，∴面BSD^面PCD．（13分）
∴面BSD與面PCD所成二面角的大小為90°．（14分）
18．(本小題滿分14分)
1）解：設(shè)S（x，y），SA斜率=，SB斜率=，（2分）
由題意，得，（4分）
經(jīng)整理，得．（６分，未指出x的范圍，扣1分）
點(diǎn)Ｓ的軌跡Ｃ為雙曲線（除去兩頂點(diǎn)）．（7分）
2）解：假設(shè)C上存在這樣的兩點(diǎn)P（x1，y1）和Q（x2，y2），則PQ直線斜率為－1，
且Ｐ、Ｑ的中點(diǎn)在直線ｘ－ｙ－１＝０上．
設(shè)PQ直線方程為：ｙ＝－ｘ＋ｂ，
由整理得．（９分）
其中時(shí)，方程只有一個(gè)解，與假設(shè)不符．
當(dāng)時(shí)，D＞０，D＝
＝，
所以，（＊）（１０分）
又，所以，代入ｙ＝－ｘ＋ｂ，
得，
因?yàn)椋小中點(diǎn)在直線ｘ－ｙ－１＝０上，
所以有：，整理得，（＊＊）（１１分）
解（＊）和（＊＊），得－１＜ｂ＜０，０＜ｔ＜１，（１３分）
經(jīng)檢驗(yàn)，得：當(dāng)ｔ取（０，１）中任意一個(gè)值時(shí)，曲線Ｃ上均存在兩點(diǎn)關(guān)于直線ｘ－ｙ－１＝０對(duì)稱．（１４分）
19．(本小題滿分14分)
解：甲選手勝乙選手的局?jǐn)?shù)作為隨機(jī)變量ξ，它的取值共有0、1、2、3四個(gè)值.
1)當(dāng)ξ=0時(shí),本場比賽共三局,甲選手連負(fù)三局,
P(ξ=0)=（1-0.6）3=0.064;(2分)
2)當(dāng)ξ=1時(shí),本場比賽共四局,甲選手負(fù)第四局,且前三局中,甲勝一局,
P(ξ=1)=;(4分)
3)當(dāng)ξ=2時(shí),本場比賽共五局,甲選手負(fù)第五局,且前四局中,甲勝二局,
P(ξ=2)=; (6分)
4)當(dāng)ξ=3時(shí),本場比賽共三局、或四局、或五局．其中共賽三局時(shí)，甲連勝這三局；共賽四局時(shí)，第四局甲勝，且前三局中甲勝兩局；共賽五局時(shí)，第五局甲勝，且前四局中甲勝兩局；
P(ξ=３)==0.68256(8分)
ξ的概率分布列為:
ξ
0
1
2
3
P
0.064
0.1152
0.13824
0.68256
(10分)
Eξ=0´P(ξ=0)+ 1´ P(ξ=1)+2´ P(ξ=2)+3´ P(ξ=３) (12分)
=0´0.064+1´0.1152+2´0.13824+3´0.68256=2.43926»2.4394.(14分)
20．(本小題滿分14分)
解：（1）由題意知，（1分）
得，（3分）∴ （5分）
（2）（6分）
（8分）
（3）設(shè)存在S，P，r,（9分）
（10分）
即
（＊） （１２分）
因?yàn)閟、p、r為偶數(shù)
1+2，（＊）式產(chǎn)生矛盾．所以這樣的三項(xiàng)不存在．（１４分）
以上答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)僅供參考，如有其它解法請(qǐng)參照給分．
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