Question

.如圖所示，已知正四棱錐S—ABCD中，底面邊長為a,側(cè)棱長為a.

（1）求它的外接球的體積；

（2）求它的內(nèi)切球的表面積.

Answer 1

（1）V_球=R³=a³（2）V_棱錐=S_底h=a²×a=

解析:

（1）設(shè)外接球的半徑為R，球心為O，則OA=OC=OS，所以O(shè)為△SAC的外心，

即△SAC的外接圓半徑就是球的半徑.

∵AB=BC=a，∴AC=a.

∵SA=SC=AC=a，∴△SAC為正三角形.

由正弦定理得2R=，

因此，R=a，V_球=R³=a³.

（2）設(shè)內(nèi)切球半徑為r，作SE⊥底面ABCD于E，

作SF⊥BC于F，連接EF，

則有SF=

=.

S_△SBC=BC·SF=a×a=a².

S_棱錐全=4S_△SBC+S_底=（+1）a².

又SE===，

∴V_棱錐=S_底h=a²×a=.

∴r=,

S_球=4r²=a².