Question

.如圖所示，已知正四棱錐S—ABCD中，底面邊長為a,側棱長為a.
（1）求它的外接球的體積；
（2）求它的內切球的表面積.

Answer 1

（1）V_球=R³=a³（2）V_棱錐=S_底h=a²×a=

（1）設外接球的半徑為R，球心為O，則OA=OC=OS，所以O為△SAC的外心，

即△SAC的外接圓半徑就是球的半徑.
∵AB=BC=a，∴AC=a.
∵SA=SC=AC=a，∴△SAC為正三角形.
由正弦定理得2R=，
因此，R=a，V_球=R³=a³.
（2）設內切球半徑為r，作SE⊥底面ABCD于E，
作SF⊥BC于F，連接EF，
則有SF=
=.
S_△SBC=BC·SF=a×a=a².
S_棱錐全=4S_△SBC+S_底=（+1）a².
又SE===，
∴V_棱錐=S_底h=a²×a=.
∴r=,
S_球=4r²=a².