題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分14分）
某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數多少之間的關系,他們分別到氣象局與某醫院抄錄了1至6月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數,得到如下資料:
| 日 期 | 1月10日 | 2月10日 | 3月10日 | 4月10日 | 5月10日 | 6月10日 |
| 晝夜溫差x(°C) | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 | 6 |
| 就診人數y(個) | 22 | 25 | 29 | 26 | 16 | 12 |
該興趣小組確定的研究方案是:先從這六組數據中選取2組,用剩下的4組數據求線性回歸方程,再用被選取的2組數據進行檢驗.
(Ⅰ)求選取的2組數據恰好是相鄰兩個月的概率；(5分)
(Ⅱ)若選取的是1月與6月的兩組數據,請根據2至5月份的數據,求出y關于x的線性回歸方程
；(6分)
(Ⅲ)若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2人,則認為得到的線性回歸方程是理想的,試問該小組所得線性回歸方程是否理想?(3分)
(參考公式: 
)
（本小題滿分14分）
桌面上有三顆均勻的骰子（6個面上分別標有數字1，2，3，4，5，6）。重復下面的操作，直到桌面上沒有骰子：將骰子全部拋擲，然后去掉那些朝上點數為奇數的骰子。記操作三次之內（含三次）去掉的骰子的顆數為X.
（1）求
；
（2）求X的分布列及期望
.
（本小題滿分14分）
下表提供了某廠節能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量x（噸）與相應的生產能耗y（噸標準煤）的幾組對照數據
 | 3 | 4 | 5 | 6 |
 | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
關于的線性回歸方程
；（本小題滿分14分）
一汽車廠生產A，B，C三類轎車,每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號，某月的產量如下表（單位：輛）：
| 轎車A | 轎車B | 轎車C | |
| 舒適型 | 100 |
|
|
| 標準型 | 300 | 450 | 600 |
已知在該月生產的轎車中隨機抽一輛，抽到舒適型轎車B的概率為0.075，按類型分層抽樣的方法在這個月生產的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛．
（1）求
和
的值；
（2）用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本.將該樣本看成一個總體，從中任取2輛,求至少有1輛舒適型轎車的概率；
（3）用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛,經檢測它們的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把這8輛轎車的得分看作一個總體,從中任取一個數,求該數與樣本平均數之差的絕對值不超過0.5的概率．
（本小題滿分14分）
一汽車廠生產A，B，C三類轎車,每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號，某月的產量如下表（單位：輛）：
| 轎車A | 轎車B | 轎車C | |
| 舒適型 | 100 |
|
|
| 標準型 | 300 | 450 | 600 |
已知在該月生產的轎車中隨機抽一輛，抽到舒適型轎車B的概率為0.075，按類型分層抽樣的方法在這個月生產的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛．
（1）求
和
的值；
（2）用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本.將該樣本看成一個總體，從中任取2輛,求至少有1輛舒適型轎車的概率；
（3）用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛,經檢測它們的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把這8輛轎車的得分看作一個總體,從中任取一個數,求該數與樣本平均數之差的絕對值不超過0.5的概率．
說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應的分數．
2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．
3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．
4．只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分．
一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共10小題，每小題5分，滿分50分．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
A
B
C
C
D
二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算．本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題．
9．
10．
11．
12. 
13. 
14．
15．2
說明：第14題答案可以有多種形式，如可答
或
Z
等, 均給滿分.
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16．(本小題滿分12分)
解：（1）∵
……2分
……4分
.
……6分
∴
.
……8分
(2) 當
時, 
取得最大值, 其值為2 .
……10分
此時
，即
Z.
……12分
17．(本小題滿分12分)
解：（1）設“這箱產品被用戶接收”為事件
，
. ……3分
即這箱產品被用戶接收的概率為
．
……4分
（2）
的可能取值為1，2，3．
……5分
=
，
=
，
=
，
……8分
∴的概率分布列為：
1
2
3
……10分
∴
=
．
……12分
18．(本小題滿分14分)
解：（1）∵點A、D分別是
、
的中點，
∴
.
……2分
∴∠
=90º.
∴
.
∴ 
,
∵
,
∴
⊥平面
.
……4分
∵
平面,
∴
.
……6分
（2）法1：取
的中點
，連結
、
．
∵
,
∴
.
∵
,
∴
平面
.
∵
平面,
∴
.
……8分
∵
∴
平面
.
∵
平面,
∴
.
∴∠
是二面角
的平面角.
……10分
在Rt△
中, 
，
在Rt△中, 
，
.
……12分
∴ 二面角的平面角的余弦值是
.
……14分
法2：建立如圖所示的空間直角坐標系
．
則
（－1，0，0），
（－2，1，0），（0，0，1）.
∴
=（－1，1，0），
=（1，0，1）,
……8分
設平面
的法向量為
=（x，y，z），則：
， ……10分
令
，得
，
∴=（1，1，－1）.
顯然，
是平面
的一個法向量，=（
）． ……12分
∴cos<，>=
．
∴二面角的平面角的余弦值是.
……14分
19. (本小題滿分14分)
解:(1)依題意知,
……2分
∵
,
∴
.
……4分
∴所求橢圓的方程為
.
……6分
（2）∵ 點
關于直線
的對稱點為
，
∴ 
……8分
解得：
，
.
……10分
∴
.
……12分
∵
點在橢圓:上,
∴
, 則
.
∴
的取值范圍為
.
……14分
20.（本小題滿分14分）
解：（1）數表中前
行共有
個數，
即第i行的第一個數是
，
……2分
∴
＝
．
∵
，＝2010，
∴ i＝11． ……4分
令
,
解得
．
……6分
（2）∵
．
……7分
∴
．
當
時, 
, 則
;
當
時, , 則;
當
時, , 則;
當
時, 猜想:
.
……11分
下面用數學歸納法證明猜想正確.
① 當
時,
, 即成立;
② 假設當
時, 猜想成立,
即
,
則
,
∵
,
∴
.
即當
時，猜想也正確.
由①、②得當
時, 成立.
當時,
.
……13分
綜上所述, 當
時, ; 當時,. ……14分
另法( 證明當時, 可用下面的方法):
當時, 
C
+ C
+ C
+ C
.
21. (本小題滿分14分)
解：（1）當
時，
，
∴
.
令=0, 得 
.
……2分
當
時,
, 則
在
上單調遞增;
當
時,
, 則在
上單調遞減;
當
時,, 在
上單調遞增.
……4分
∴ 當
時, 取得極大值為
;
當
時, 取得極小值為
. ……6分
（2） ∵ = 
，
∴△= 
= 
.
① 若a≥1，則△≤0， ……7分
∴≥0在R上恒成立，
∴ f（x）在R上單調遞增 .
∵f（0）
，
,
∴當a≥1時，函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點． ……9分
② 若a＜1，則△＞0，
∴= 0有兩個不相等的實數根，不妨設為x1，x2，（x1<x2）．
∴x1+x2 = 2，x1x2 = a．
當
變化時，
的取值情況如下表：
x
x1
（x1，x2）
x2
+
0
－
0
+
f（x）
ㄊ
極大值
ㄋ
極小值
ㄊ
……11分
∵
,
∴
.
∴
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