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某公司全年的純利潤為b元，其中一部分作為獎金發給n位職工，獎金分配方案如下：首先將職工按工作業績（工作業績均不相同）從大到小，由1到n排序，第1位職工得獎金元，然后將余額除以n發給第2位職工，按此方案將獎金逐一發給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發展基金．
（1）設a_k（1≤k≤n）為第k位職工所得獎金額，試求a₂、a₃，并用k、n和b表示a_k（不必證明）；
（2）證明：a_k＞a_k+1（k=1，2，…，n-1），并解釋此不等式關于分配原則的實際意義；
（3）發展基金與n和b有關，記為P_n（b）．對常數b，當n變化時，求P_n（b）（可用公式（1-）ⁿ=）．

某廠在一個空間容積為2000m³的密封車間內生產某種化學藥品．開始生產后，每滿60分鐘會一次性釋放出有害氣體am³，并迅速擴散到空氣中．每次釋放有害氣體后，車間內的凈化設備隨即自動工作20分鐘，將有害氣體的含量降至該車間內原有有害氣體含量的r％，然后停止工作，待下一次有害氣體釋放后再繼續工作．安全生產條例規定：只有當車間內的有害氣體總量不超過1.25am³時才能正常進行生產．

(Ⅰ)當r＝20時，該車間能否連續正常生產6.5小時？請說明理由；

(Ⅱ)能否找到一個大于20的數據r，使該車間能連續正常生產6.5小時？請說明理由；

(Ⅲ)(本小題為附加題，如果解答正確，加4分，但全卷總分不超過150分)

已知該凈化設備的工作方式是：在向外釋放出室內混合氣體(空氣和有害氣體)的同時向室內放入等體積的新鮮空氣．已知該凈化設備的換氣量是200m³／分，試證明該設備連續工作20分鐘能夠將有害氣體含量降至原有有害氣體含量的20％以下．(提示：我們可以將凈化過程劃分成n次，且n趨向于無窮大．)

某公司全年的純利潤為b元，其中一部分作為獎金發給n位職工，獎金分配方案如下：首先將職工按工作業績（工作業績均不相同）從大到小，由1到n排序，第1位職工得獎金

b

n

元，然后將余額除以n發給第2位職工，按此方案將獎金逐一發給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發展基金．
（1）設a_k（1≤k≤n）為第k位職工所得獎金額，試求a₂、a₃，并用k、n和b表示a_k（不必證明）；
（2）證明：a_k＞a_k+1（k=1，2，…，n-1），并解釋此不等式關于分配原則的實際意義；
（3）發展基金與n和b有關，記為P_n（b）．對常數b，當n變化時，求

lim

n→∞

P_n（b）（可用公式

lim

n→∞

（1-

1

n

）ⁿ=

1

e

）．