Question

某公司全年的純利潤為b元，其中一部分作為獎金發給n位職工，獎金分配方案如下：首先將職工按工作業績（工作業績均不相同）從大到小，由1到n排序，第1位職工得獎金

b

n

元，然后將余額除以n發給第2位職工，按此方案將獎金逐一發給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發展基金．
（1）設a_k（1≤k≤n）為第k位職工所得獎金額，試求a₂、a₃，并用k、n和b表示a_k（不必證明）；
（2）證明：a_k＞a_k+1（k=1，2，…，n-1），并解釋此不等式關于分配原則的實際意義；
（3）發展基金與n和b有關，記為P_n（b）．對常數b，當n變化時，求

lim

n→∞

P_n（b）（可用公式

lim

n→∞

（1-

1

n

）ⁿ=

1

e

）．

Answer 1

分析：（1）根據題意可知a₁進而利用余額除以n發給第2位職工，求得a₂=

1

n

（1-

1

n

）•b，同理可求得a₃．以此類推發現數列成等比數列，公比為1-

1

n

，進求得a_k．
（2）根據（1）中的a_k進而代入a_k-a_k+1結果大于0，由題意可知業績大的在數列的前面，且拿的獎金多，進而可判斷出此獎金分配方案體現了按勞分配的原則．
（3）根據題意可分別表示出f₁（b），f₂（b），推斷出f_k（b），進而利用極限的基本運算求得

lim

n→∞

P_n（b）．

解答：（1）解：a₁=

b

n

，a₂=

1

n

（1-

1

n

）•b，a₃=

1

n

（1-

1

n

）²•b，…，a_k=

1

n

（1-

1

n

）^k-1•b．
（2）證明：a_k-a_k+1=

1

n2

（1-

1

n

）^k-1•b＞0，此獎金分配方案體現了按勞分配的原則．
（3）解：設f_k（b）表示發給第k位職工后所剩余額，
則f₁（b）=（1-

1

n

）•b，f₂（b）=（1-

1

n

）²•b，…，f_k（b）=（1-

1

n

）^k•b，
得P_n（b）=f_n（b）=（1-

1

n

）ⁿ•b，
故

lim

n→∞

P_n（b）=

b

e

．

點評：本題主要考查了數列的遞推式和數列的應用．考查了學生運用所學知識解決實際問題的能力．