題目列表(包括答案和解析)
已知函數
，
。
（Ⅰ）求
在區間
的最小值；
（Ⅱ）求證：若
，則不等式
≥
對于任意的
恒成立；
（Ⅲ）求證：若
，則不等式≥對于任意
的
恒成立。
，
。
在區間
的最小值；
，則不等式
≥
對于任意的
恒成立；
，則不等式≥對于任意
的
恒成立。（本小題滿分12分）已知函數
，
.
（1）求
在區間
的最小值； （2）求證：若
，則不等式
≥
對于任意的
恒成立； （3）求證：若
，則不等式≥對于任意的
恒成立.
，
.
在區間
的最小值；（2）求證：若
，則不等式
≥
對于任意的
恒成立；（3）求證：若
，則不等式≥對于任意的
恒成立.若定義在區間D上的函數
對于區間D上的任意兩個值
、
總有以下不等式
成立，則稱函數為區間D上的凸函數 .
（1）證明：定義在R上的二次函數
是凸函數；
（2）設
，并且
時，
恒成立，求實數
的取值范圍，并判斷函數能否成為
上的凸函數；
（3）定義在整數集Z上的函數
滿足：①對任意的
，
；②
，
. 試求的解析式；并判斷所求的函數是不是R上的凸函數說明理由.
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．
CBCDB DADCA
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．
11.90 12.[
) 13.
14.1 ；3899 15.
三、解答題：本大題共6小題，共75分．
16.（本小題滿分13分）
解：（1）
……3分
……4分
令
的單調區間
,k∈Z ．．．．．．6分
（2）由
得 
．．．．．７分
又
為
的內角
．．．．．．９分
．．．11分
．．．．12分
17. （本小題滿分13分）
解:(1)記“甲擊中目標的次數減去乙擊中目標的次數為
，解得
．．．．．4分
(2)
的所有可能取值為0,1,2.記“在第一次射擊中甲擊中目標”為事件
；記“在第一次射擊中乙擊中目標”為事件
.
則
,
,．．．．．10分
所以的分布列為
0
1
2
P
∴
=
．．．．．12分
18. （本小題滿分13分）
解:（1）當
為
中點時,有
平面
證明:連結
交
于
,連結
∵四邊形
是矩形 ∴為中點
又為中點,從而
∵
平面,
平面
∴平面．．．．．4分
（2）建立空間直角坐標系
如圖所示,
則
,
,
,
,
．．．．．6分
所以
,
.
設
為平面的法向量,則有
,即
令
,可得平面的一個法向量為
,．．．．．9分
而平面
的一個法向量為
．．．．．10分
所以
所以二面角
的余弦值為
．．．．．12分
(用其它方法解題酌情給分)
19.（本小題滿分12分）
解:(1)由題意知
因此數列
是一個首項
.公比為3的等比數列，所以
.．．．．．2分
又
=100―(1+3+9)
所以
=87,解得
因此數列
是一個首項
,公差為―5的等差數列,
所以 
．．．．．4分
(2) 求視力不小于5.0的學生人數為
．．．．．7分
(3) 由
①
可知，當
時，
②
①-②得，當時，
, www.zxsx.com
,
．．．．．11分
又
因此數列
是一個從第2項開始的公比為3的等比數列,
數列的通項公式為
．．．．．13分
20.（本小題滿分12分）
解:(1)由于
,
∴
,解得
,
∴橢圓的方程是
．．．．．3分
(2)∵
,∴
三點共線,
而
,設直線的方程為
,
由
消去
得: 
由
,解得
．．．．．6分
設
,由韋達定理得
①,
又由得:
,∴
②.
將②式代入①式得:
,
消去
得:
．．．．．10分
設
,當
時, 
是減函數,
∴
, ∴
, www.zxsx.com
解得
,又由得
,
∴直線AB的斜率的取值范圍是
．．．．．13分
21. （本小題滿分12分）
(1)解:
①若
∵
，則
，∴
，即
.
∴在區間
是增函數，故在區間的最小值是
．．．．．2分
②若
令
，得
.
又當
時，
；當
時，
，
∴在區間的最小值是
．．．．．4分
(2)證明:當
時，
，則
，
∴
,
當
時，有
，∴
在內是增函數，
∴
，
∴
在內是增函數，www.zxsx.com
∴對于任意的，
恒成立．．．．．7分
(3)證明:
,
令
則當
時,
≥
,．．．．．10分
令
,則
,www.zxsx.com
當
時, 
；當
時，
；當
時，
，
則在
是減函數，在
是增函數，
∴
，
∴
，
∴
，即不等式≥對于任意的
恒成立．．．．．13分
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