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已知AA₁⊥平面ABC，AA₁=AB=BC=CA=3，P為A₁B上的點(diǎn)。

（1）當(dāng)P為A₁B的中點(diǎn)時，求證：AB⊥PC ；
（2）當(dāng)時，求二面角P-BC-A平面角的余弦值。

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一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中、分別是、的中點(diǎn)，是上的一動點(diǎn)，主視圖與俯視圖都為正方形。

⑴求證：；
⑵當(dāng)時，在棱上確定一點(diǎn)，使得∥平面，并給出證明。
⑶求二面角的平面角余弦值。

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如圖：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA＝AB＝1，點(diǎn)E、F分別是BC、PB的中點(diǎn)．

(Ⅰ)證明：EF∥平面PAC；

(Ⅱ)當(dāng)AD等于何值時，二面角P－DE－A的大小為30°；

(Ⅲ)求二面角P－DE－A余弦值的取值范圍．

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一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．

CBCDB    DADCA

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．

11.90       12.[)       13.       14.1 ；3899       15.

三、解答題：本大題共6小題，共75分．

16.（本小題滿分13分）

解：（1）

……3分……4分

令

的單調(diào)區(qū)間,k∈Z　．．．．．．6分

（2）由得　．．．．．７分

又為的內(nèi)角．．．．．．９分

　　　　　　　．．．11分

　　．．．．12分

17. （本小題滿分13分）

解:(1)記“甲擊中目標(biāo)的次數(shù)減去乙擊中目標(biāo)的次數(shù)為2”為事件A，則

，解得．．．．．4分

(2)的所有可能取值為0,1,2.記“在第一次射擊中甲擊中目標(biāo)”為事件；記“在第一次射擊中乙擊中目標(biāo)”為事件.

   則,

   ,．．．．．10分

所以的分布列為

0

1

2

P

∴=．．．．．12分

18. （本小題滿分13分）

解:（1）當(dāng)為中點(diǎn)時,有平面

證明:連結(jié)交于,連結(jié)

∵四邊形是矩形  ∴為中點(diǎn)

又為中點(diǎn),從而

∵平面,平面

∴平面．．．．．4分

（2）建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

則,,,,

．．．．．6分

所以,.

設(shè)為平面的法向量,則有,即

令,可得平面的一個法向量為,．．．．．9分

而平面的一個法向量為 ．．．．．10分

所以

所以二面角的余弦值為 ．．．．．12分

(用其它方法解題酌情給分)

19.（本小題滿分12分）

解:(1)由題意知

因此數(shù)列是一個首項(xiàng).公比為3的等比數(shù)列，所以.．．．．．2分

又=100―(1+3+9)

所以=87,解得

因此數(shù)列是一個首項(xiàng),公差為―5的等差數(shù)列,

所以 ．．．．．4分

 (2) 求視力不小于5.0的學(xué)生人數(shù)為．．．．．7分

(3) 由   ①

可知，當(dāng)時，  ②

①-②得，當(dāng)時， , www.zxsx.com

 , ．．．．．11分

又

因此數(shù)列是一個從第2項(xiàng)開始的公比為3的等比數(shù)列,

數(shù)列的通項(xiàng)公式為．．．．．13分

20.（本小題滿分12分）

解:(1)由于,

     ∴,解得,

     ∴橢圓的方程是．．．．．3分
(2)∵,∴三點(diǎn)共線,

而,設(shè)直線的方程為,

   由消去得:

   由,解得．．．．．6分

   設(shè),由韋達(dá)定理得①,

    又由得:,∴②.

將②式代入①式得:,

    消去得: ．．．．．10分

    設(shè),當(dāng)時, 是減函數(shù),

    ∴, ∴, www.zxsx.com

解得,又由得,

∴直線AB的斜率的取值范圍是．．．．．13分

21. （本小題滿分12分）

 (1)解:

     ①若

∵，則，∴，即.

       ∴在區(qū)間是增函數(shù)，故在區(qū)間的最小值是

．．．．．2分

     ②若

令，得.

又當(dāng)時，；當(dāng)時，，

∴在區(qū)間的最小值是．．．．．4分

   (2)證明:當(dāng)時，，則，

      ∴,

      當(dāng)時，有，∴在內(nèi)是增函數(shù)，

      ∴，

∴在內(nèi)是增函數(shù)，www.zxsx.com

      ∴對于任意的，恒成立．．．．．7分

   (3)證明:

,

      令

      則當(dāng)時,≥

                      ,．．．．．10分

      令,則,www.zxsx.com

當(dāng)時, ；當(dāng)時，；當(dāng)時，，

則在是減函數(shù)，在是增函數(shù)，

∴，

∴，

∴，即不等式≥對于任意的恒成立．．．．．13分