Question

一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中、分別是、的中點，是上的一動點，主視圖與俯視圖都為正方形。

⑴求證：；
⑵當時，在棱上確定一點，使得∥平面，并給出證明。
⑶求二面角的平面角余弦值。

Answer 1

(1)利用線面垂直，，以及，進而證明線線垂直。
(2)

試題分析：① （4分）
②如圖所示，建立空間直角坐標系，

設 ，有
 
設平面的法向量為

則 令得到
  ∵ 得到 得到P點為A點   （8分）
③平面的法向量為，
設所求二面角為，則  12分）
點評：對于立體幾何中垂直的證明，一般要熟練的掌握線面垂直的判定定理和性質定理來得到，同時能結合向量法表示出二面角，這是一般的求解二面角的方法之一，屬于中檔題。