題目列表(包括答案和解析)
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
已知橢圓的焦點在
軸上，它的一個頂點恰好是拋物線
的焦點，離心率
，過橢圓的右焦點
作與坐標軸不垂直的直線
交橢圓于
兩點．
（1）求橢圓方程；
（2）設點
是線段
上的一個動點，且
，求
的取值范圍；
（3）設點
是點
關于軸對稱點，在軸上是否存在一個定點
，使得
三點共線？若存在，求出定點的坐標，若不存在，請說明理由．
橢圓
的兩個焦點F1、F2，點P在橢圓C上，且P F1⊥F1F2，| P F1|=
，| P F2|=
。
（I）求橢圓C的方程；
（II）若直線L過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M交橢圓于A、B兩點，且A、B關于點M對稱，求直線L的方程。
橢圓
的一個焦點
與拋物線
的焦點重合,且截拋物線的準線所得弦長為
,傾斜角為
的直線
過點. （Ⅰ）求該橢圓的方程；
（Ⅱ）設橢圓的另一個焦點為
,問拋物線
上是否存在一點
,使得與關于直線對稱,若存在,求出點的坐標,若不存在,說明理由.
已知橢圓的焦點在
軸上，它的一個頂點恰好是拋物線
的焦點，離心率
，過橢圓的右焦點
作與坐標軸不垂直的直線
交橢圓于
兩點．
（1）求橢圓方程；
（2）設點
是線段
上的一個動點，且
，求
的取值范圍；
（3）設點
是點
關于軸對稱點，在軸上是否存在一個定點
，使得
三點共線？若存在，求出定點的坐標，若不存在，請說明理由．
一、選擇題：
CADDB ADBBA CD
二、填空題
（13）
; （14）8; （15）
; （16）
.
三、解答題
（17）解：將圓C的方程
配方得標準方程為
，
則此圓的圓心為（0 , 4），半徑為2.
(Ⅰ) 若直線
與圓C相切，則有
. 解得
. ………………6分
(Ⅱ) 解：過圓心C作CD⊥AB，則根據題意和圓的性質，得
解得
.
∴直線的方程是
和
. ………………12分
（18）解:(Ⅰ)由題意知此平面區域表示的是以
構成的三角形及其內部,且△
是直角三角形, 所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓,故圓心是(2,1),半徑是
,
所以圓
的方程是
. ………………6分
(Ⅱ)設直線的方程是:
.
因為
,所以圓心到直線的距離是
, 即
.
解得:
. ………………………………11分
所以直線的方程是
. ………………12分
（19）解：設過點T(3,0)的直線
交拋物線
于點A
、B
.
（Ⅰ）當直線的鈄率不存在時,直線的方程為
,
此時, 直線與拋物線相交于點A(3,
)（）.B(3,－)，∴
=3. …….............4分
（Ⅱ）當直線的鈄率存在時,設直線的方程為
，
其中
，由
得 
.
…………………….….6分
又 ∵ 
， ∴
，
………………………………….10分
綜上所述，命題“若直線過點T(3,0)，則=3” 是真命題. ………………….12分
（20）解：（Ⅰ）由
知
是
的中點，
設A、B兩點的坐標分別為
由
.
，
∴點的坐標為
.
…………………………4分
又點在直線上， 
.
， 
………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，不妨設橢圓的一個焦點坐標為
，
設關于直線
上的對稱點為
，
則有
. ………………10分
由已知
.
，∴所求的橢圓的方程為
. ………………12分
（21）解：（Ⅰ）
，即
；
，即
.
. ……………………………………………4分
（Ⅱ）設直線
的方程為
，
直線與雙曲線交于
，不妨設
且
，
直線
與雙曲線交于
.
由
得
.
令
得
，此式恒成立.
，
. ………………6分
而
=
.
∴直線與雙曲線交于兩支上的兩點；
同理直線與雙曲線交于兩支上的兩點，
則
……………………8分
=
=
. ……………………10分
令
則
在（1，2）遞增.
又
，
.
………………………………………12分
（22）解：（Ⅰ）直線
的法向量
， 的方程：
，
即為
. ………………………2分
直線
的法向量
，的方程為
，
即為
.
………………………4分
（Ⅱ）
. ………………………6分
設點
的坐標為
，由
，得
.…………8分
由橢圓的定義的知，存在兩個定點
使得
恒為定值4，此時兩個定點為橢圓的兩個焦點. ………………………10分
（Ⅲ）設
，
，則
，
，
由
，得
. ………………………12分
；
當且僅當
或
時，
取最小值
.
，故
與
平行.
………………………14分
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