Question

橢圓的兩個焦點F₁、F₂，點P在橢圓C上，且P F₁⊥F₁F₂，| P F₁|=，| P F₂|=。

（I）求橢圓C的方程；

（II）若直線L過圓x²+y²+4x-2y=0的圓心M交橢圓于A、B兩點，且A、B關于點M對稱，求直線L的方程。

 

Answer 1

【答案】

 (Ⅰ) ＝1. (Ⅱ) 8x－9y+25=0.

【解析】本試題主要考查了橢圓方程的求解直線與橢圓的位置關系的運用。

（1）)因為點P在橢圓C上，所以，a=3.

在Rt△PF₁F₂中，故橢圓的半焦距c=,

從而b²=a²－c²=4,所以橢圓C的方程為＝1.

（2）已知圓的方程為（x+2）²+(y－1)²=5,所以圓心M的坐標為（－2，1）.

   設A，B的坐標分別為（x₁,y₁）,(x₂,y₂).由題意x₁x₂且

         ①         ②

點差法得到結論。

解法一：(Ⅰ)因為點P在橢圓C上，所以，a=3.

在Rt△PF₁F₂中，故橢圓的半焦距c=,

從而b²=a²－c²=4,所以橢圓C的方程為＝1.

(Ⅱ)設A，B的坐標分別為（x₁,y₁）、（x₂,y₂）.   由圓的方程為（x+2）²+(y－1)²=5,所以圓心M的坐標為（－2，1）.   從而可設直線l的方程為   y=k(x+2)+1,

代入橢圓C的方程得  （4+9k²）x²+(36k²+18k)x+36k²+36k－27=0.

因為A，B關于點M對稱.   所以   解得，

所以直線l的方程為   即8x-9y+25=0.   (經檢驗，符合題意)

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)已知圓的方程為（x+2）²+(y－1)²=5,所以圓心M的坐標為（－2，1）.

   設A，B的坐標分別為（x₁,y₁）,(x₂,y₂).由題意x₁x₂且

         ①         ②

由①－②得              ③

因為A、B關于點M對稱，所以x₁+ x₂=－4, y₁+ y₂=2,

代入③得＝，即直線l的斜率為，

所以直線l的方程為y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(經檢驗，所求直線方程符合題意.)