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已知斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠C＝90°，側棱與底面所成的角為α，點B₁在底面上的射影D落在BC上．

(1)求證：AC⊥平面BB₁C₁C

(2)當α為何值時，AB₁⊥BC₁且D恰為BC中點？

(3)若，且AC＝BC＝AA₁時，求二面角C₁―AB―C的大小．

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已知三棱柱ABC－A₁B₁C₁的側棱垂直于底面，∠BAC＝90°，AB＝AA₁＝2，AC＝1，M，N分別是A₁B₁，BC的中點．

(Ⅰ)證明：MN∥平面ACC₁A₁；

(Ⅱ)若點P在線段BN上，且三棱錐P－AMN的體積V_P－AMN＝，求的值．

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已知斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，側棱與底面所成角為，點B₁在底面上射影D落在BC上．

(Ⅰ)求證：AC⊥平面BB₁C₁C；

(Ⅱ)若點D恰為BC中點，且AB₁⊥BC₁，求的大小；

(Ⅲ)若cos＝，且當AC＝BC＝AA₁＝a時，求二面角C－AB－C₁的余弦．

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已知斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，側棱與底面所成角為，點B₁在底面上射影D落在BC上．

(Ⅰ)求證：AC⊥平面BB₁C₁C；

(Ⅱ)若點D恰為BC中點，且AB₁⊥BC₁，求的大小；

(Ⅲ)若cos＝，且當AC＝BC＝AA₁＝a時，求二面角C－AB－C₁的大小．

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如圖，已知三棱柱ABC－A₁B₁C₁的側棱與底面垂直，AA₁＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分別是CC₁，BC的中點，點P在線段A₁B₁上，且

（1）證明：無論取何值，總有AM⊥PN；

（2）當時，求直線PN與平面ABC所成角的正切值.

 

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1、；   2、24x²        3、        4、－1或3

5、           6、2n          7、        8、8π

9、如①y＝0，－2x－1 ②x＝0，1－2x  ③y＝x，等   10、①   11、

12、B     13、A     14、D     15、A

16、解：取BC中點E，連接B₁E，得B₁ECD為平行四邊形

∵B₁E∥CD

∴∠AB₁E為異面直線AB₁與CD所成的角.      (4分)

在△ABC中，BC＝4

連接AE，在△AB₁E中，AB₁＝4，AE＝2，B₁E＝2，

(7分)

則cos∠AB₁E＝

＝＝              (10分)

∴異面直線AB₁與CD所成角的大小為30⁰.       (12分)

17、解：(1) 由(2－x) (x＋1)＞0，得－1＜x＜2   即A＝(－1，2)             (6分)

(2) 由(x－m－2)(x－m)＞0，得B＝(－∞，m)∪(m＋2，＋∞)     (10分)

∵AB  ∴m≥2或m＋2≤－1，即m≥2或m≤－3

故當BA時，實數a的取值范圍是(－∞，－3]∪[2，＋∞)      (14分)

18、解：在△ABC中，BD＝400，∠ABD＝120⁰，

∵∠ADB＝20⁰  ∴∠DAB＝40⁰

∵＝            (2分)

∴＝，得AD≈538.9   (7分)

在△ADC中，DC＝800，∠ADC＝160⁰

∴AC²＝AD²＋DC²－2 AD•DC•cos∠ADC         (9分)

＝538.9²＋800²－2×538.9×800×cos160⁰

＝1740653.8

得AC≈1319（米）                            (14分)

則索道AC長約為1319米.                      (15分)

19、解：（1），即

但，所以

（若答案寫成，扣一分）                          (4分)

（2）任取，則，，  (6分)

所以，

當且僅當時等號成立，則g(x)∈M.                              (10分)

（3）設，則，且m＋n＝1.

由已知：函數滿足

得，即，則 (14分)

當且僅當，即，即m＝n＝－1時，m＋n有最大值為－2. (16分)

21、解：（1）                         (2分)

則                                         (4分)

（2），

∵   ∴

∴()，知是周期為3的數列     (6分)

則

＝

                                          (10分)

（3）

                   (14分)

所以，即(18分)

上海市奉賢區2008年高三數學聯考試卷(理)

一、填空題（本大題滿分55分）本大題共有11題，只要求直接填寫結果，每個空格填對得5分，否則一律得零分．

21.設A＝，B＝，則A∩B＝_________________.

22.若＝3，則x＝_________________.

23.函數的反函數_________________.

24.已知＝(m－2，－3)，＝(－1，m)，若∥，則m＝_________________.

25.已知復數w滿足 (i為虛數單位），則||＝_________________.

26.等差數列的公差不為零，. 若成等比數列，則__________.

27.已知，且是第四象限的角，則＝_________________.

28.已知圓錐的母線與底面所成角為60⁰，高為3，則圓錐的側面積為_________________.

29.請將下面不完整的命題補充完整，并使之成為真命題：若函數f(x)＝2－1的圖像與g(x)的圖像關于直線_____________對稱，則g(x)＝_________________.

（注：填上你認為可以成為真命題的一種情形即可）

30.對于函數f(x)＝x?sinx，給出下列三個命題：①f(x)是偶函數；②f(x)是周期函數；③f(x) 在區間[0，π]上的最大值為.正確的是_______________（寫出所有真命題的序號）.

31.正方體中，連接相鄰兩個面的中心的連線可以構成一個美麗的幾何體.若正方體的邊長為1，則這個美麗的幾何體的體積為_______________.

二. 選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4 題，每題都給出代號為A、B、C、D的四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，必須把正確結論的代號寫在題后的圓括號內，選對得5分，不選、選錯或者選出的代號超過一個，一律得零分．

32.下列函數中，奇函數是（   ）

(A) y＝x²－1    (B) y＝x³＋x     (C) y＝2     (D) y＝log₃x

33.  設x₁、x₂∈R，則“x₁＞1且x₂＞1”是“x₁＋x₂＞2且x₁x₂＞1”的（   ）條件

(A) 充分不必要    (B) 必要不充分    (C) 充要          (D) 不充分不必要

34.設向量＝(－2，1)，＝(λ，－1) (λ∈R)，若、的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是（   ）

(A) (－∞, －)  (B) (－, ＋∞)  (C) (, ＋∞)  (D) (－, 2)∪(2, ＋∞)

35.將1，2，…，9這9個數隨機分給甲、乙、丙三人，每人三個數，則每人手中的三個數都能構成等差數列的概率為（   ）

(A)                     (B)                     (C)                   (D)

三.  解答題（本大題滿分75分）本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟．

36.  （本題滿分12分）

在直三棱柱中，已知AB＝AC＝AA₁＝4，∠BAC＝90⁰，D為B₁C₁的中點，求異面直線AB₁與CD所成角的大小.

解：

37.  （本題滿分14分.第一小題6分，第2小題8分.）

記函數f(x)＝的定義域為A，g(x)＝log₃[(x－m－2)(x－m)]的定義域為B.

(1)求A；(2)若AB，求實數m的取值范圍.

解：

38.  （本題滿分15分）

如圖所示，南山上原有一條筆直的山路BC，現在又新架設了一條索道AC.小李在山腳B處看索道AC，發現張角∠ABC＝120⁰；從B處攀登400米到達D處，回頭看索道AC，發現張角∠ADC＝160⁰；從D處再攀登800米方到達C處.問索道AC長多少（精確到米）？

解：

39.  （本題滿分16分.第一小題4分，第2小題6分，第3小題6分.）

我們將具有下列性質的所有函數組成集合M：函數，對任意均滿足，當且僅當時等號成立.

（4） 若定義在(0，＋∞)上的函數∈M，試比較與大小.

（5） 給定兩個函數：，.

證明：.

（6） 試利用（2）的結論解決下列問題：若實數m、n滿足，求m＋n的最大值.

解：

40.  （本題滿分18分.第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分.）

我們規定：對于任意實數，若存在數列和實數，使得

，則稱數可以表示成進制形式，簡記為：

。如：，則表示A是一個2進制形式的數，且＝5.

（1）已知（其中，試將m表示成進制的簡記形式.

（2）若數列滿足，，

，是否存在實常數p和q，對于任意的，總成立？若存在，求出p和q；若不存在，說明理由.

（3）若常數滿足且，，求.

解：

奉賢區2008年高三數學聯考試卷(理)參考答案

1、；   2、2或－3      3、     4、－1或3

5、            6、2n           7、                8、6π

9、如①y＝0，－2^x＋1；②x＝0，()^x－1；③y＝x，log₂(x＋1)等   10、①   11、

12、B     13、A     14、D     15、A

16、解法一：取BC中點E，連接B₁E，得B₁ECD為平行四邊形

∵B₁E∥CD

∴∠AB₁E為異面直線AB₁與CD所成的角.      (4分)

在△ABC中，BC＝4

連接AE，在△AB₁E中，AB₁＝4，AE＝2，B₁E＝2，

(7分)

則cos∠AB₁E＝

＝＝             (10分)

∴異面直線AB₁與CD所成角的大小為30⁰.     (12分)

解法二：以A為坐標原點，分別以AB、AC、AA₁所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系.                               (2分)

則A(0，0，0)，B₁(4，0，4)，C(0，4，0)，D(2，2，4)

得 ＝(4，0，4)，＝(2，－2，4)     (6分)

設與的夾角為

則＝                 (10分)

∴與的夾角大小為30⁰

即異面直線與所成角的大小為30⁰.  (12分)

17、解：(1) －2≥0，得≤0，－1＜x≤2   即A＝－1，2]    (6分)

(2) 由(x－m－2)(x－m)＞0，得B＝(－∞，m)∪(m＋2，＋∞)         (10分)

∵AB  ∴m＞2或m＋2≤－1，即m＞2或m≤－3

故當BA時，實數a的取值范圍是(－∞，－3]∪(2，＋∞).         (14分)

18、解：在△ABC中，BD＝400，∠ABD＝120⁰

∵∠ADB＝20⁰  ∴∠DAB＝40⁰

∵＝            (2分)

∴＝，得AD≈538.9   (7分)

在△ADC中，DC＝800，∠ADC＝160⁰

∴AC²＝AD²＋DC²－2 AD•DC•cos∠ADC         (9分)

＝538.9²＋800²－2×538.9×800×cos160⁰

＝1740653.8

得AC≈1319（米）                            (14分)

則索道AC長約為1319米.                      (15分)

19、解：（1），即

但，所以

（若答案寫成，扣一分）                        (4分)

（2）① 對于，取，則

所以，.                      (6分)

②對于任取，則

∵ ，而函數是增函數

∴  ，即

則，即.                    (10分)

（3）設，則，且m＋n＝1.

由（2）知：函數滿足，

得，即，則 (14分)

當且僅當，即，即m＝n＝－1時，m＋n有最大值為－2. (16分)

20、解：（1）                        (1分)

則                                         (3分)

（2）

∵   ∴

∴()，知是周期為3的數列     (6分)

假設存在實常數p和q，對于任意的，總成立，則：

＝

∴ .

即存在實常數，對于任意的，總成立    (10分)

（3）

                   (14分)

∴ ，即 (18分)