Question

如圖，已知三棱柱ABC－A₁B₁C₁的側棱與底面垂直，AA₁＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分別是CC₁，BC的中點，點P在線段A₁B₁上，且

（1）證明：無論取何值，總有AM⊥PN；

（2）當時，求直線PN與平面ABC所成角的正切值.

 

Answer 1

法一：（1）證明：在三棱柱中，

,而.故

且                               ……………3分

設為的中點、為的中點。連接,.

且,

，

又,,,

故無論取何值，總有                        ……………6分

（2）由于設是

,故

法二  以A為坐標原點，分別以為軸建立空間直角坐標系

則A₁（0，0，1），

B₁（1，0，1）， M（0，1，），N（，0）

，，

C

             ……………4分

N

（1）∵，∴

∴無論取何值，         ……………6分

（2）時，,            ……………8分

而面 設為所成角，

則，                  ……………10分 

所以直線與與平面所成角的正切值為.        ………………12分