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（本小題滿分14分）
如圖：某污水處理廠要在一個矩形污水處理池的池底水平鋪設污水凈化管道，是直角頂點）來處理污水，管道越短，鋪設管道的成本越低.設計要求管道的接口是的中點，分別落在線段上。已知米，米，記。

（Ⅰ）試將污水凈化管道的長度表示為的函數，并寫出定義域；
（Ⅱ）若，求此時管道的長度；
（Ⅲ）問：當取何值時，鋪設管道的成本最低？并求出此時管道的長度。

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一、DDBCD  CABCA

二、11．1；       12．；     13．           14．；    15．；

16．

三．解答題（本大題共6小題，共76分）

17．解：（1）法一：由題可得；

法二：由題，

故，從而；

法三：由題，解得，

故，從而。

（2），令，

則，

在單調遞減，

故，

從而的值域為。

18．解：（1）的可能取值為0,1,2,3,4，，

，

，，。

因此隨機變量的分布列為下表所示；

0

1

2

3

4

（2）由⑴得：，

19．法一：（1）連接，設，則。

因為，所以，故，從而，

故。

又因為，

所以，當且僅當取等號。

此時為邊的中點，為邊的中點。

故當為邊的中點時，的長度最小，其值為

（2）連接，因為此時分別為的中點，

故，所以均為直角三角形，

從而，所以即為直線與平面所成的角。

因為，所以即為所求；

（3）因，又，所以。

又，故三棱錐的表面積為

。

因為三棱錐的體積，

所以。

法二：（1）因，故。

設，則。

所以，

當且僅當取等號。此時為邊的中點。

故當為的中點時，的長度最小，其值為；

（2）因，又，所以。

記點到平面的距離為，

因，故，解得。

因，故；

（3）同“法一”。

法三：（1）如圖，以為原點建立空間直角坐標系，設，則，

所以，當且僅當取等號。

此時為邊的中點，為邊的中點。

故當為邊的中點時，的長度最小，其值為；

（2）設為面的法向量，因，

故。取，得。

又因，故。

因此，從而，

所以；

（3）由題意可設為三棱錐的內切球球心，

則，可得。

與（2）同法可得平面的一個法向量，

又，故，

解得。顯然，故。

20．解：（1）當時，。令得，

故當 時，單調遞增；

當時，單調遞減。

所以函數的單調遞增區間為，

單調遞減區間為；

（2）法一：因，故。

令，

要使對滿足的一切成立，則，

解得；

法二：，故。

由可解得。

因為在單調遞減，因此在單調遞增，故。設，

則，因為，

所以，從而在單調遞減，

故。因此，即。

（3）因為，所以

即對一切恒成立。

，令，

則。因為，所以，

故在單調遞增，有。

因此，從而。

所以。

21．解：（1）設，則由題，

由得，故。

又根據可得，

即，代入可得，

解得（舍負）。故的方程為；

（2）法一：設，代入得，

故，

從而

因此。

法二：顯然點是拋物線的焦點，點是其準線上一點。

設為的中點，過分別作的垂線，垂足分別為，

則。

因此以為直徑的圓與準線相切（于點）。

若與重合，則。否則點在外，因此。

綜上知。

22．證明：（1）因，故。

顯然，因此數列是以為首項，以2為公比的等比數列；

（2）由⑴知，解得；

（3）因為

所以。

又（當且僅當時取等號），

故。

綜上可得。（亦可用數學歸納法）