Question

（本小題滿分14分）
如圖：某污水處理廠要在一個矩形污水處理池的池底水平鋪設污水凈化管道，是直角頂點）來處理污水，管道越短，鋪設管道的成本越低.設計要求管道的接口是的中點，分別落在線段上。已知米，米，記。

（Ⅰ）試將污水凈化管道的長度表示為的函數，并寫出定義域；
（Ⅱ）若，求此時管道的長度；
（Ⅲ）問：當取何值時，鋪設管道的成本最低？并求出此時管道的長度。

Answer 1

（Ⅰ） ，；
（Ⅱ）時，，；
（Ⅲ）當時，所鋪設管道的成本最低，此時管道的長度為米。

本試題主要是考查了函數在實際函數中的運用。
（1），，
由于，，，，所以 ，。
（2）因為時，，
（3）=，設,
則，由于，
構造二次函數，求解最值。
解：（Ⅰ），，
由于，，，。3分
所以 ，……………………………5分
（Ⅱ）時，，；……………10分
（Ⅲ）=，設,
則，由于，
所以 ，在 內單調遞減，
于是當時. 的最小值米……………………13分
答：當時，所鋪設管道的成本最低，此時管道的長度為米………14分