Question

（08年重慶一中一模理）在中，，分別為邊上的點(diǎn)，且。沿將折起（記為），使二面角為直二面角。⑴當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，的長(zhǎng)度最小，并求出最小值；⑵當(dāng)的長(zhǎng)度最小時(shí)，求直線(xiàn)與平面所成的角的大小；⑶當(dāng)的長(zhǎng)度最小時(shí)，求三棱錐的內(nèi)切球的半徑。

Answer 1

解析:

，所以即為直線(xiàn)與平面所成的角。因?yàn)?IMG height=45 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090319/20090319083733005.gif' width=149>，所以即為所求；

⑶因，又，所以。又，故三棱錐的表面積為。因?yàn)槿�棱錐的體積，所以。

法二：⑴因，故。設(shè)，則。所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)。此時(shí)為邊的中點(diǎn)。故當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)度最小，其值為；

⑵因，又，所以。記點(diǎn)到平面的距離為，因，故，解得。因，故；

⑶同“法一”。

法三：⑴如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)。此時(shí)為邊的中點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)。故當(dāng)為邊的中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)度最小，其值為；

⑵設(shè)為面的法向量，因，故。

取，得。又因，故。因此，從而，所以；

⑶由題意可設(shè)為三棱錐的內(nèi)切球球心，則，可得。與⑵同法可得平面的一個(gè)法向量，又，故，解得。顯然，故。