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本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每小題7分，請考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填入括號中．
（1）選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣，向量．
（I）求矩陣M的特征值λ₁、λ₂和特征向量；
（II）求M⁶的值．
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數方程為．以直角坐標系原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．
（Ⅰ）求直線l的直角坐標方程；
（Ⅱ）點P為曲線C上的動點，求點P到直線l距離的最大值．
（3）選修4-5：不等式選講
（Ⅰ）已知：a、b、c∈R₊，求證：a²+b²+c²≥；    
（Ⅱ）某長方體從一個頂點出發的三條棱長之和等于3，求其對角線長的最小值．

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本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每小題7分，請考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填入括號中．
（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣，向量．
(I)求矩陣的特征值、和特征向量；
(II)求的值．
（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數方程為．以直角坐標系原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．
（Ⅰ）求直線l的直角坐標方程；
（Ⅱ）點P為曲線C上的動點，求點P到直線l距離的最大值．
（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講
（Ⅰ）已知：a、b、；   
（Ⅱ）某長方體從一個頂點出發的三條棱長之和等于3，求其對角線長的最小值.

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一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。

1．B    2．D   3．A   4．A   5．B   6．C   7．C   8．C   9．A   10．B

二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。

11．5   12．    13．    14．7       15．

三、解答題：本大題共6小題，共80分。

16．解：（I）由三角函數的定義可知

    又為正三角形，

   （Ⅱ）

      圓的面積為。

     該點落在內的概率

17．解：（I）依題意，每個月更新的車輛數構成一個首項為，公差為的等差數列，設第

個月更新的車輛數為，則

    該市的出租車總數（輛）

   （Ⅱ）依題意，每個月更新的車輛數構成一個首項為，公比為1.1的等比數列，則第

個月更新的車輛數，設至少需要個月才能更新完畢，

     個月更新的車輛總數，

     即，由參數數據可得

     故以此速度進行更新，至少需要37個月才能更新完該市所有的出租車

18．解（I），為等腰直角三角形，

   （Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系，則

    設平面的一個法向量為，

    則有  得

    平面的一個法向量

    而的一個法向量

    平面與平面所成的角的余弦值

   （Ⅲ），

    設平面的法向量為，則有

    平面的一個法向量為

     若要使得面，則要，即

     解得， 當時，  面

19．解法一：

   （I）設橢圓方程為，由題意知

    故橢圓方程為

   （Ⅱ）由（I）得，所以，設的方程為（）

    代入，得

    設則

    由，

    當時，有成立。

   （Ⅲ）在軸上存在定點，使得、、三點共線。

     依題意知，直線BC的方程為，

     令，則

     的方程為、在直線上，

     在軸上存在定點，使得、、三點共線。

     解法二：（I）同解法一。

    （Ⅱ）由（I）得，所以。

     設的方程為

     代入，得

     設則

     當時，有成立。

    （Ⅲ）在軸上存在定點，使得、、三點共線。

     設存在使得、、三點共線，則，

     ，

     即

     ，。

     所以，存在，使得、、三點共線。

20．解：（I）

    當時，

    由或。

x

(0,1)

1

+

―

單調遞增

極大值

單調遞減

    時，，無極小值。

   （Ⅱ）存在單調遞減區間，

    在內有解，即在內有解。

    若，則，在單調遞增，不存在單調遞減區間；

    若，則函數的圖象是開口向上的拋物線，且恒過點（0，1），要

使在內有解，則應有

或，由于，；

若，則函數的圖象是開口向下的拋物線，且恒過點（0，1），

在內一定有解。

綜上，或。

   （Ⅲ）依題意：，假設結論不成立，

則有

①―②，得

  由③得，

即

設，則，

令

，在（0，1）上為增函數。