題目列表(包括答案和解析)
已知函數
.
（I）當
時，求
的極值；
（II）當
時，討論的單調性；
（III）若對任意的
成立，求實數m的取值范圍.
函數
（I）當
時，求函數
的極值；
（II）設
，若
，求證：對任意
，且
，都有
.
函數
（I）當
時，求函數
的極值；
（II）設
，若
，求證：對任意
，且
，都有
.
（I）若當
時，
取得極值，求
的值，并討論
的單調性；
（II）若
存在極值，求
的取值范圍，并證明所有極值之和大于
.
設函數
（I）若函數
處取得極值，求此時函數
的單調區間；
（II）已知不等式
恒成立，求
的取值范圍。
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。
1．B 2．D 3．A 4．A 5．B 6．C 7．C 8．C 9．A 10．B
二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。
11．5 12．
13．
14．7 15．
三、解答題：本大題共6小題，共80分。
16．解：（I）由三角函數的定義可知
又
為正三角形，
（Ⅱ）
圓的面積為
。
該點落在
內的概率
17．解：（I）依題意，每個月更新的車輛數構成一個首項為
，公差為的等差數列，設第
個月更新的車輛數為
，則
該市的出租車總數
（輛）
（Ⅱ）依題意，每個月更新的車輛數構成一個首項為，公比為1.1的等比數列，則第
個月更新的車輛數
，設至少需要
個月才能更新完畢，
個月更新的車輛總數
，
即
，由參數數據可得
故以此速度進行更新，至少需要37個月才能更新完該市所有的出租車
18．解（I）
，
為等腰直角三角形，
（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系，則
設平面
的一個法向量為
，
則有
得
平面的一個法向量
而
的一個法向量
平面與平面所成的角的余弦值
（Ⅲ）
，
設平面
的法向量為
，則有
平面的一個法向量為
若要使得
面，則要
，即
解得
， 當時， 面
19．解法一：
（I）設橢圓方程為
，由題意知
故橢圓方程為
（Ⅱ）由（I）得
，所以
，設
的方程為
（
）
代入，得
設
則
由
，
當
時，有
成立。
（Ⅲ）在軸上存在定點
，使得
、
、
三點共線。
依題意知
，直線BC的方程為
，
令
，則
的方程為
、在直線上，
在軸上存在定點，使得、、三點共線。
解法二：（I）同解法一。
（Ⅱ）由（I）得，所以。
設的方程為
代入，得
設則
當時，有成立。
（Ⅲ）在軸上存在定點，使得、、三點共線。
設存在
使得、、三點共線，則
，
，
即
，
。
所以，存在，使得、、三點共線。
20．解：（I）
當
時，
由
或
。
x
(0,1)
1
+
―
單調遞增
極大值
單調遞減
時，
，無極小值。
（Ⅱ）
存在單調遞減區間，
在
內有解，即
在內有解。
若
，則
，在單調遞增，不存在單調遞減區間；
若
，則函數
的圖象是開口向上的拋物線，且恒過點（0，1），要
使在內有解，則應有
或
，由于，
；
若
，則函數
的圖象是開口向下的拋物線，且恒過點（0，1），
在內一定有解。
綜上，或。
（Ⅲ）依題意：
，假設結論不成立，
則有
①―②，得
由③得，
即
設
，則
，
令
，
在（0，1）上為增函數。
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