題目列表(包括答案和解析)
（選做題）從A，B，C，D四個中選做2個，每題10分，共20分．
A．選修4—1 幾何證明選講
如圖所示，已知PA與⊙O相切，A為切點，PBC為割線，，弦CD∥AP，AD、BC相交于E點，F為CE上一點，且DE2=EF·EC.
（Ⅰ）求證：??P=??EDF；
（Ⅱ）求證：CE·EB=EF·EP．
（選做題）從A，B，C，D四個中選做2個，每題10分，共20分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．（本小題為選做題，滿分10分）
如圖，AB是半圓的直徑，C是AB延長線上一點，CD
切半圓于點D，CD=2，DE⊥AB，垂足為E，且E是
OB的中點，求BC的長．
B．（本小題為選做題，滿分10分）
已知矩陣
，其中
，若點P（1,1）在矩陣A的變換下得到點
，
（1）求實數a的值； （2）求矩陣A的特征值及特征向量.
C．（本小題為選做題，滿分10分）
設點
分別是曲線
和
上的動點，求動點間的最小距離.
D．（本小題為選做題，滿分10分）
設
為正數，證明：
≥
.
在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分，請在答題紙指定區域內作答，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1 1 |
| 2 |
| π |
| 4 |
|
]，并且矩陣M對應的變換將點（-1，2）變換成（9，15），求矩陣M．
sin（
），以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數方程為
（t為參數），求直線l被曲線C所截得的弦長．
]，并且矩陣M對應的變換將點（-1，2）變換成（9，15），求矩陣M．
sin（
），以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數方程為
（t為參數），求直線l被曲線C所截得的弦長．
一、填空題
1．
；2．-1；3．48；4．
；5．１；6．a
；7．
；
8．
；9．
；10．4；11．160；12．
；13．
；14．
．
二、解答題
15．證明：（Ⅰ）
因為平面PBC與平面PAD的交線為
所以
（Ⅱ）在
中，由題設
可得
于是
在矩形
中，
.又
，
所以
平面
又
即
平面PBC與平面PAD所成二面角的一個平面角
在
中 
所以平面PBC與平面PAD所成二面角的大小為
．
16．解：(Ⅰ)
……2分
由題意得
，
，得
，
當
時，最小正整數
的值為2，故
． ……6分
(Ⅱ)因
且 
則
當且僅當
，
時，等號成立
則
，又因
，則
，即 
……10分
由①知：
因
，則 
， 
，故函數
的值域為
．
……14分
17．解：（Ⅰ）
當
時，g(x)=f(x)-f(x-1)
當x=1時，g(x)=g(1)也適合上式
又
等號當且僅當x=12-x即x=6時成立，即當x=6時，
（萬件）
∴6月份該商品的需求量最大，最大需求量為
萬件。
（Ⅱ）依題意，對一切
，有
令
答每個月至少投入
萬件可以保證每個月都足量供應。
18．解：(Ⅰ) 由（x－12）2+y2=144－a(a<144),可知圓心M的坐標為(12，0)，
依題意，∠ABM=∠BAM=，kAB= , 設MA、MB的斜率k.
則
且
, 解得
=2，
=－ ．
∴所求BD方程為x+2y－12=0，AC方程為2x－y－24=0．
(Ⅱ) 設MB、MA的傾斜角分別為θ1，θ2，則tanθ1＝2，tanθ2＝－，
設圓半徑為r，則A（12＋
），B（12－
，
），
再設拋物線方程為y2＝2px (p＞0)，由于A，B兩點在拋物線上，
∴ ∴ r=4，p=2．
得拋物線方程為y2＝4x。
19．解:（Ⅰ）設數列
的公差為
，由
,
,解得
，=3
∴
∵
∴Sn=
=
(Ⅱ) 
∴
∴
(Ⅲ)由(2)知，
∴
，
∵
成等比數列
∴ 
即
當
時，7
，=1，不合題意；
當
時，
，=16，符合題意；
當
時，
，無正整數解；
當
時，
，無正整數解；
當
時，
，無正整數解；
當
時，
，無正整數解；
當
時，
，則
，而
，所以，此時不存在正整數m,n,且1<m<n,使得成等比數列。
綜上，存在正整數m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比數列。
20．解:（Ⅰ）假設
①，其中
偶函數，
為奇函數，則有
，即
②，
由①②解得
，
.
∵定義在R上，∴，都定義在R上.
∵
，
.
∴是偶函數，是奇函數，
∵
，
∴
，
.
由
，則
，
平方得
，∴
，
∴
.
…………6分
（Ⅱ）∵
關于
單調遞增，∴
.
∴
對于
恒成立，
∴
對于恒成立，
令
，則
，
∵，∴
，故在上單調遞減，
∴
，∴
為m的取值范圍. …………10分
（Ⅲ）由（1）得
，
若
無實根，即
①無實根，
方程①的判別式
.
1°當方程①的判別式
，即
時，
方程①無實根. ……………12分
2°當方程①的判別式
，即
時，
方程①有兩個實根
，
即
②，
只要方程②無實根，故其判別式
，
即得
③，且
④，
∵，③恒成立，由④解得
，
∴③④同時成立得
．
綜上，m的取值范圍為. ……………16分
三、附加題
∵ÐDEF是公共角，
∴ΔDEF∽ΔCED． ∴ÐEDF=ÐC．
∵CD∥AP， ∴ÐC=Ð P．
∴ÐP=ÐEDF．
（2）∵ÐP=ÐEDF， ÐDEF=ÐPEA，
∴ΔDEF∽ΔPEA． ∴DE : PE=EF : EA．即EF?EP=DE?EA．
∵弦AD、BC相交于點E，∴DE?EA=CE?EB．∴CE?EB=EF?EP．
21B．解（Ⅰ）由條件得矩陣
，
它的特征值為
和
，對應的特征向量為
及
；
（Ⅱ）
，
橢圓
在
的作用下的新曲線的方程為
．
（Ⅱ）x＋y＝4＋2sin（
） 最大值6，最小值2 ．
21D．證明：
當且僅當
時，等號成立．
22．解：設既會唱歌又會跳舞的有x人，則文娛隊中共有（7-x）人，那么只會一項的人數是（7-2 x）人．
(I)∵
，
∴
．即
．
∴
．
∴x=2． 故文娛隊共有5人．
(II) 
，
，
的概率分布列為
0
1
2
P
∴
=1．
23．解：（Ⅰ）
；
（Ⅱ）
．
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