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已知二階矩陣A有特征值λ₁=1及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量和特征值λ₂=2及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量，試求矩陣A及其逆矩陣A^-1．

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選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣A有特征值λ₁=1及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量和特征值λ₂=2及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量，試求矩陣A．

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一、填空題：

1．；2． 79 ；3.1；  4． ； 5.；6. ； 7.16 ；8.7；  9.2；  10. ； 11. ； 12. ； 13. 2； 14. 3955.

特別說(shuō)明：有消息說(shuō)，今年數(shù)學(xué)的填空題的壓軸題將比較新、比較難，我們?cè)谠u(píng)講時(shí)要教育學(xué)生有這方面的心理準(zhǔn)備。

二、解答題：

15.解：（1）

      ∵      ∴┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分

      ┉┉┉┉┉┉┉7分

  （2）∵（2a-c）cosB=bcosC

       由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC┉┉┉┉┉┉8分

     ∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC  ∴2sinAcosB=sin(B+C)

∵    ∴，

∴┉┉┉┉┉┉10分

∴┉┉┉┉┉┉11分

∴┉┉┉┉┉┉12分

又∵,∴ ┉┉┉┉┉┉13分

故函數(shù)f(A)的取值范圍是┉┉┉┉┉┉14分

16. 解：（1）∵函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為

要使在區(qū)間上為增函數(shù)，

當(dāng)且僅當(dāng)>0且       ……………………………3分

若=1則=－1，

若=2則=－1，1

若=3則=－1，1；                 ……………………………5分

∴事件包含基本事件的個(gè)數(shù)是1+2+2=5

∴所求事件的概率為             ……………………………7分

（2）由（Ⅰ）知當(dāng)且僅當(dāng)且>0時(shí)，

函數(shù)上為增函數(shù)，

依條件可知試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?sub>

構(gòu)成所求事件的區(qū)域?yàn)槿�角形部分�?nbsp; ………………………………9分

由 ……………………………11分

∴所求事件的概率為 ……………………………　14分

17. （1）證明： 平面平面,,

平面平面=，平面，                              

平面， ,………　2分

又為圓的直徑，， 平面。………　5分                                    

（2）設(shè)的中點(diǎn)為，則，又，則，為平行四邊形，                     ………　7分

，又平面，平面，

平面。………　9分                                  

(3)過(guò)點(diǎn)作于，平面平面，

平面，，………　11分

 平面，

，………　14分

．      ………　15分

18. 解：（1）因?yàn)橹本�：過(guò)定點(diǎn)T（4，3）………　2分

由題意，要使圓的面積最小, 定點(diǎn)T（4，3）在圓上，

所以圓的方程為；………　4分

（2）A（-5，0），B（5，0），設(shè)，則……（1）

，，

由成等比數(shù)列得，，

即，整理得：,

即……（2）

由（1）（2）得：，，

………………………　9分

（3）

 ，………　11分

由題意，得直線與圓O的一個(gè)交點(diǎn)為M（4，3），又知定點(diǎn)Q（，3），

直線：，，則當(dāng)時(shí)有最大值32. ………　14分

即有最大值為32，

此時(shí)直線的方程為.………　15分

特別說(shuō)明：第19題、第20題不是完整的壓軸題，原作者都有第3問(wèn)設(shè)計(jì)，為了強(qiáng)化考試策略教育，讓學(xué)生有信心做壓軸題的開(kāi)始一兩問(wèn)，并在考前體會(huì)做好基礎(chǔ)題可以拿高分，我們特意進(jìn)行了刪減處理。特別優(yōu)秀的班級(jí)（如市中的奧班，可以添加第三問(wèn)（祥見(jiàn)文末附件），并將評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)作相應(yīng)調(diào)整。

19.解：（1）∵，其定義域?yàn)?sub>，  

∴．………………………　3分

∵是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴，即．                                         

∵，∴．  ………………………　6分                                             

經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極值點(diǎn)，

∴．　                          ………………………　8分      

（2）由題意，可知方程在區(qū)間上有根，因?yàn)?sub>在上是單調(diào)減函數(shù)，在上是單調(diào)增函數(shù)，………………………　10分

所以，………………………　14分

………………………　16分

20.解：(1) ┉┉┉┉┉┉2分

    ┉┉┉┉┉┉5分

┉┉┉┉┉┉8分

（2）           ┉┉┉┉┉┉10分

                                ┉┉┉┉┉┉12分

     ┉┉┉┉┉┉14分

┉┉┉┉┉┉16分

附加題部分

A（1）證明：因?yàn)?sub>，所以

      又是圓O的直徑，所以

      又因?yàn)?sub>（弦切角等于同弧所對(duì)圓周角）……………………3分

      所以所以

      又因?yàn)?sub>，所以相似

      所以，即 ……………………5分

  （2）解：因?yàn)?sub>，所以，

       因?yàn)?sub>，所以

       由（1）知：。所以 ……………………8分

       所以，即圓的直徑

       又因?yàn)?sub>，即

     解得 ……………………10分

B.解：令 得到：  ……………2分

解得：                          ……………………6

    所以，矩陣A的特征值為2和3．

當(dāng)，　令得，

所以，對(duì)應(yīng)的特征向量為 ……………………8

當(dāng)，　令得，所以，對(duì)應(yīng)的特征向量為

　矩陣Ａ的兩個(gè)特征值分別是2和3，它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別是和．…10分

C.解：將直線的參數(shù)方程化為普通方程為：      ……………………2分

    將圓C的極坐標(biāo)方程化為普通方程為：  ………………4分

    從圓方程中可知：圓心C（1，1），半徑  ，

    所以，圓心C到直線的距離  …………6分

    所以直線與圓C相交．　　　　　　　　　　　　　　　……………………7分

   所以直線被圓C截得的弦長(zhǎng)為.……………………10分

D.證明：要證原不等式成立，只須證：

即只須證：

由柯西不等式易知上式顯然成立，所以原不等式成立.

22.解：（1）設(shè)“小明中一等獎(jiǎng)”為事件B₁ ，“小輝中一等獎(jiǎng)”為事件B₂ ，事件B₁與事件B₂相互獨(dú)立，他們倆都中一等獎(jiǎng)，則P(B₁B₂)=P(B₁)P(B₂)=0.0001

所以，購(gòu)買(mǎi)兩張這種彩票都中一等獎(jiǎng)的概率為．………..3分

（2）設(shè)“購(gòu)買(mǎi)一張這種彩票中一等獎(jiǎng)”為事件A，“購(gòu)買(mǎi)一張這種彩票中二等獎(jiǎng)”為事件B，顯然，事件A與事件B互斥，

所以， ……………………5分

故購(gòu)買(mǎi)一張這種彩票能中獎(jiǎng)的概率為0.1．……………………6分

（3）對(duì)應(yīng)不中獎(jiǎng)、中二等獎(jiǎng)、中一等獎(jiǎng)，的分布列如下：

……………………9分

購(gòu)買(mǎi)一張這種彩票的期望收益為損失元．……………………10分

23. 解：（1）設(shè)P（x，y），根據(jù)題意，得．………3分

化簡(jiǎn)，得．……………………………………………4分

（2）設(shè)過(guò)Q的直線方程為，代入拋物線方程，整理，得．

∴△＝．解得．………………………………………6分

所求切線方程為（也可以用導(dǎo)數(shù)求得切線方程），

此時(shí)切點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），（－2，1），且切點(diǎn)在曲線C上． …………8分

由對(duì)稱(chēng)性知所求的區(qū)域的面積為

．……………………………10分

附件：

第19題第3問(wèn)：

（3）若對(duì)任意的都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

（3）對(duì)任意的都有≥成立等價(jià)于對(duì)任意的都有≥．………………………　7分

當(dāng)［1，］時(shí)，．

∴函數(shù)在上是增函數(shù)．

∴．………………………9分

∵，且，．

①當(dāng)且