Question

已知二階矩陣A有特征值λ₁=1及對應的一個特征向量e1=

1 1

和特征值λ₂=2及對應的一個特征向量e2=

1 0

，試求矩陣A及其逆矩陣A^-1．

Answer 1

分析：設(shè)矩陣A=

ab cd

，則有

1-a-b -c1-d

1 1

=

0 0

，因為

1 0

是矩陣A的屬于λ₂=2的特征向量，則有

2-a-b -c1-d

1 0

=

0 0

，由此能夠求出矩陣A及其逆矩陣A^-1．

解答：解：設(shè)矩陣A=

ab cd

，這里a，b，c，d∈R，
因為

1 1

是矩陣A的屬于λ₁=1的特征向量，則有

1-a-b -c1-d

1 1

=

0 0

①，
又因為

1 0

是矩陣A的屬于λ₂=2的特征向量，則有

2-a-b -c1-d

1 0

=

0 0

②，
根據(jù)①②，則有

1-a-b=0    -c+1-d=0    2-a=0    -c=0

從而a=2，b=-1，c=0，d=1，因此A=

2-1 01

，（6分）
根據(jù)題意

1 1

 ，  

1 0

分別是矩陣A^-1屬于特征值1，

1

2

的特征向量，
不妨設(shè)A-1=

ef gh

，則有

ef gh

2-1 01

=

-2e-e+f 2g-g+h

=

10 01

，
則得

1-e-f=0  -g+1-h=0  1 2 -e=0  -g=0

從而e=

1

2

 ，f=

1

2

 ，g=0 ，h=1，因此A-1=

1 2 1 2 01

．（10分）

點評：本題考查矩陣的性質(zhì)和應用，解題時要注意公式的靈活運用．