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．（本題滿分12分）如圖，三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA₁=3，D為AC的中點.
（1）求證：AB₁// 面BDC₁；
（2）求二面角C₁—BD—C的余弦值；
（3）在側棱AA­₁上是否存在點P，使得CP⊥面BDC₁？并證明你的結論.

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（1）如圖，平行四邊形ABCD中，M、N分別為DC、BC的中點，已知

AM

=

c

、

AN

=

d

，試用

c

、

d

表示

AB

和

AD

．
（2）在△ABC中，若

AB

=

a

，

AC

=

b

若P，Q，S為線段BC的四等分點，試證：

AP

+

AQ

+

AS

=

3

2

(

a

+

b

)；

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（1）已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二測畫法畫出它的直觀圖A′B′C′D′如圖所示，其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，求直角梯形以BC為旋轉軸旋轉一周形成的幾何體的表面積．
（2）定線段AB所在的直線與定平面α相交，P為直線AB外的一點，且P不在α內，若直線AP、BP與α分別交于C、D點，求證：不論P在什么位置，直線CD必過一定點．

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　　1．D　2．C　3．D　4．（理）D　（文）A　5．C　6．B　7．C　8．（理）C　（文）A　9．（理）B　（文）D　10．A　11．C　12．D

　　13．-2　14．6∶2∶　15．（文）7　（理）a≥3　16．（文）a≥3（理）1

　　17．解析：（1）．

　　解不等式．

　　得

　　∴　f（x）的單調增區間為，．

　　（2）∵　，]，　∴　．

　　∴　當即時，．

　　∵　3＋a＝4，∴　a＝1，此時．

　　18．解析：由已知得，，．

　　∴　．

　　欲使夾角為鈍角，需．

　　得　．

　　設．

　　∴　^，∴　．

　　∴　，此時．

　　即時，向量與的夾角為p ．

　　∴　夾角為鈍角時，t的取值范圍是（-7，）（，）．

　　19．解析：（甲）取AD的中點G，連結VG，CG．

　　（1）∵　△ADV為正三角形，∴　VG⊥AD．

　　又平面VAD⊥平面ABCD．AD為交線，

　　∴　VG⊥平面ABCD，則∠VCG為CV與平面ABCD所成的角．

　　設AD＝a，則，．

　　在Rt△GDC中，

　　．

　　在Rt△VGC中，．

　　∴　．

　　即VC與平面ABCD成30°．

　　（2）連結GF，則．

　　而　．

　　在△GFC中，．　∴　GF⊥FC．

　　連結VF，由VG⊥平面ABCD知VF⊥FC，則∠VFG即為二面角V-FC-D的平面角．

　　在Rt△VFG中，．

　　∴　∠VFG＝45°．　二面角V-FC-B的度數為135°．

　　（3）設B到平面VFC的距離為h，當V到平面ABCD的距離是3時，即VG＝3．

　　此時，，，．

　　∴　，

　　　　．

　　∵　，

　　∴　．

　　∴　．

　　∴　　即B到面VCF的距離為．

　　（乙）以D為原點，DA、DC、所在的直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，設正方體棱長為a，則D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），（0，0，a），E（a，a，），F（a，，0），G（，a，0）．

　　（1），，-a），，0，，

　　∵　，

　　∴　．

　　（2），a，），

　　∴　．

　　∴　．

　　∵　，∴　平面AEG．

　　（3）由，a，），＝（a，a，），

　　∴　，．

　　20．解析：依題意，公寓2002年底建成，2003年開始使用．

　　（1）設公寓投入使用后n年可償還全部貸款，則公寓每年收費總額為1000×80（元）＝800000（元）＝80萬元，扣除18萬元，可償還貸款62萬元．

　　依題意有　…．

　　化簡得．

　　∴　．

　　兩邊取對數整理得．∴　取n＝12（年）．

　　∴　到2014年底可全部還清貸款．

　　（2）設每生和每年的最低收費標準為x元，因到2010年底公寓共使用了8年，

　　依題意有…．

　　化簡得．

　　∴　（元）

　　故每生每年的最低收費標準為992元．

　　21．解析：（1），

　　而　，

　　∴　．

　　∴　{}是首項為，公差為1的等差數列．

　　（2）依題意有，而，

　　∴　．

　　對于函數，在x＞3.5時，y＞0，，在（3.5，）上為減函數．

　　故當n＝4時，取最大值3

　　而函數在x＜3.5時，y＜0，，在（，3.5）上也為減函數．

　　故當n＝3時，取最小值，＝-1．

　　（3），，

　　∴　．

　　22．解析：（1）雙曲線C的右準線l的方程為：x＝，兩條漸近線方程為：．

　　∴　兩交點坐標為　，、，．

　　∵　△PFQ為等邊三角形，則有（如圖）．

　　∴　，即．

　　解得　，c＝2a．∴　．

　　（2）由（1）得雙曲線C的方程為把．

　　把代入得．

　　依題意　　∴　，且．

　　∴　雙曲線C被直線y＝ax＋b截得的弦長為

　　∵　．

　　∴　．

　　整理得　．

　　∴　或．

　　∴　雙曲線C的方程為：或．

　　（文）（1）設B點的坐標為（0，），則C點坐標為（0，＋2）（-3≤≤1），

　　則BC邊的垂直平分線為y＝＋1　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ②

　　由①②消去，得．

　　∵　，∴　．

　　故所求的△ABC外心的軌跡方程為：．

　　（2）將代入得．

　　由及，得．

　　所以方程①在區間，2有兩個實根．

　　設，則方程③在，2上有兩個不等實根的充要條件是：

　　之得．

　　∵　

　　∴　由弦長公式，得

　　又原點到直線l的距離為，

　　∴　

　　∵　，∴　．

　　∴　當，即時，．