Question

．（本題滿分12分）如圖，三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA₁=3，D為AC的中點.
（1）求證：AB₁// 面BDC₁；
（2）求二面角C₁—BD—C的余弦值；
（3）在側棱AA­₁上是否存在點P，使得CP⊥面BDC₁？并證明你的結論.

Answer 1

（I）證明：
連接B₁C，與BC₁相交于O，連接OD
∵BCC₁B₁是矩形，∴O是B₁C的中點.又D是AC的中點，
∴OD//AB₁.∵AB_­1面BDC_­1，OD面BDC₁
∴AB₁//面BDC₁.           
（II）解：如力，建立空間直角坐標系，則
C₁（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0）， D（1，3，0）
設=（x₁，y₁，z₁）是面BDC₁的一個法向量，則
即.…………6分
易知=(0，3，0)是面ABC的一個法向量.
∴二面角C₁—BD—C的余弦值為 
（III）假設側棱AA₁上存在一點P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC₁.
則
∴方程組無解.∴假設不成立. ∴側棱AA₁上不存在點P，使CP⊥面BDC₁.

略