題目列表(包括答案和解析)
| 2x-1 |
對定義在
上，并且同時滿足以下兩個條件的函數
稱為
函數．
① 對任意的
，總有
；
② 當
時，總有
成立．
已知函數
與
是定義在上的函數．
（1）試問函數
是否為
函數？并說明理由；
（2）若函數
是函數，求實數
的值；
（3）在（2）的條件下，是否存在實數
，使方程
恰有兩解？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由．
已知定義域為
的函數
同時滿足以下三個條件：
[1] 對任意的
，總有
；
[2] 
；
[3] 若
，
，且
，則有
成立，
并且稱為“友誼函數”，請解答下列各題：
(1)若已知為“友誼函數”，求
的值；
(2)函數
在區間上是否為“友誼函數”？并給出理由.
(3)已知為“友誼函數”，假定存在
，使得
且
，
求證：
.
已知定義域為
的函數
同時滿足以下三個條件：
[1] 對任意的
，總有
；
[2] 
；
[3] 若
，
，且
，則有
成立，
并且稱為“友誼函數”，請解答下列各題：
(1)若已知為“友誼函數”，求
的值；
(2)函數
在區間上是否為“友誼函數”？并給出理由.
(3)已知為“友誼函數”，假定存在
，使得
且
，
求證：
.
已知定義域為
的函數
同時滿足以下三個條件：
（1） 對任意的
，總有
；（2）
；（3） 若
，
，且
，則有
成立，則稱為“友誼函數”，請解答下列各題：
（1）若已知為“友誼函數”，求
的值；
（2）函數
在區間上是否為“友誼函數”？并給出理由.
（3）已知為“友誼函數”，假定存在
，使得
且
， 求證：
.
一、選擇題
1．B 2．C 3．C 4．C 5．B 6．A
7．A 8．D 9．B 10.D
二、填空題
11．86；1.6；12.1/6 13.（ 4，8） 14.108 15.(1),（2）,(3)
三、解答題
16．解：（1）由已知得
解得
．設數列
的公比為
，
由，可得
．又
，可知
，
即
，
解得
． 由題意得
． 
．
故數列的通項為
．……………………………6分
（2）由于
由（1）得
=
……………..13分
17．(1)∵
=a， AB=
E為
的中點。
∴
，
DE⊥CE……（2分）
又∵
∴DE⊥EB ，而
∴DE⊥平面BCE…（6分）
(2) 取DC的中點F，則EF⊥平面BCD,作FH⊥BD于H，連EH，則∠EHF就是二面角E-BD-C的一個平面角。……………………（8分）
由題意得 EF=a，在Rt△
中，
…………（10分）
∴
∠EHF＝
.……………………………………………（13分）
18．解：由已知
，
得
，
（1）若
，
。若A是直角，則k=-2；若B是直角，則
k（2-k）+3=0, k=-1,k=3;若C是直角，則2（2-k）+12=0,k=8.故m=3,△ABC是直角三角形的概率為
（2）若
，且k≠
.區間長度L=6.若B是鈍角，則-k(2-k)-3<0, -1<k<3,L′=4. △ABC中B是鈍角的概率
k（2-k）+3=0, k=-1,k=3;若C是直角，則2（2-k）+12=0,k=8.故m=3,△ABC是直角三角形的概率為.
求△ABC是直角三角形的概率.
19．解：（Ⅰ）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以
為焦點，
長半軸為2的橢圓．它的短半軸
，
故曲線C的方程為
．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）設
，其坐標滿足
消去y并整理得
，
故
．??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
，即
．而
，
于是
．
所以
時，，故．???????????????????????????????????????????????????????? 8分
當時，
，
．
，
而
，
所以
． 13分
20．解：（1）
當
時
，
函數
有一個零點；當
時，
，函數有兩個零點。…….3分
（2）假設
存在，由①知拋物線的對稱軸為x＝－1，∴
即 
由②知對
,都有
令
得
又因為
恒成立，
，即
，即
由
得
，
當時，
，其頂點為（－1，0）滿足條件①，又
對,都有，滿足條件②。
∴存在
，使
同時滿足條件①、②。…..8分
（3）令
，則
，
在
內必有一個實根。即
，使
成立。….13分
21．（1）1; (2) 
（2）（1）設M=
，則有
=
，
=
，
所以
且
解得
，所以M=
．…………………………5分
（2）任取直線l上一點P(x，y)經矩陣M變換后為點P’(x’，y’)．
因為
，所以又m：
，
所以直線l的方程(x+2y)－(3x+4y)=4，即x+y+2=0．………………………………7分
．
不等式證明選講）若
，證明
。
柯西不等式一步可得
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