已知定義域為
的函數(shù)
同時滿足以下三個條件：
（1） 對任意的
，總有
；（2）
；（3） 若
，
，且
，則有
成立，則稱為“友誼函數(shù)”，請解答下列各題：
（1）若已知為“友誼函數(shù)”，求
的值；
（2）函數(shù)
在區(qū)間上是否為“友誼函數(shù)”？并給出理由.
（3）已知為“友誼函數(shù)”，假定存在
，使得
且
， 求證：
.
（1）
（2）是友誼函數(shù)（3）見解析.
解析試題分析：（1）利用賦值法由得
，再由得
，所以（2）分別驗證（1）由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)在區(qū)間上的最小值為0，（2）直接帶入驗證易得
（3）利用做差法直接比較
（3） 先利用單調(diào)性的定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性，然后再證明
取
得， 又由，
得
（2）顯然在上滿足（1） 
；（2）.（3）若，，且，則有
故滿足條件（1）、（2）、（3），所以為友誼函數(shù).
（3）由 （3）知任給
其中
，且有
，不妨設(shè)
所以：
.
下面證明：(i)若
，則有
或
若，則
，這與矛盾；
（2）若，則
，這與矛盾；
綜上所述：
考點(diǎn)：函數(shù)的概念與性質(zhì).
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已函數(shù)
是定義在
上的奇函數(shù)，在
上
.
（1）求函數(shù)的解析式；并判斷在上的單調(diào)性(不要求證明)；
（2）解不等式
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)f(x)＝x2－4ax＋2a＋6，x∈R.
(1)若函數(shù)的值域為[0，＋∞)，求a的值；
(2)若函數(shù)的值域為非負(fù)數(shù)集，求函數(shù)f(a)＝2－a|a＋3|的值域．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)f(x)＝x＋sin x.
(1)設(shè)P，Q是函數(shù)f(x)圖像上相異的兩點(diǎn)，證明：直線PQ的斜率大于0；
(2)求實數(shù)a的取值范圍，使不等式f(x)≥axcos x在
上恒成立．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
（2011•山東）某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計要求容器的體積為
立方米，且l≥2r．假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為c（c＞3）千元．設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元．
（1）寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；
（2）求該容器的建造費(fèi)用最小時的r．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)
a為常數(shù)且a＞0.
（1）證明：函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x=
對稱；
（2）若x0滿足f（f（x0））= x0，但f（x0）≠x0，則x0稱為函數(shù)f（x）的二階周期點(diǎn)，如果f（x）有兩個二階周期點(diǎn)x1，x2，試確定a的取值范圍；
（3）對于（2）中的x1，x2，和a，設(shè)x3為函數(shù)f（f（x））的最大值點(diǎn)，A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（x3，0），記△ABC的面積為S（a），討論S（a）的單調(diào)性.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，某小區(qū)有一邊長為2（單位：百米）的正方形地塊OABC，其中OAE是一個游泳池，計劃在地塊OABC內(nèi)修一條與池邊AE相切的直路
（寬度不計），切點(diǎn)為M，并把該地塊分為兩部分．現(xiàn)以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以線段OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，若池邊AE滿足函數(shù)
）的圖象，且點(diǎn)M到邊OA距離為
．
（1）當(dāng)
時，求直路所在的直線方程；
（2）當(dāng)t為何值時，地塊OABC在直路不含泳池那側(cè)的面積取到最大，最大值是多少？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
設(shè)函數(shù)
的定義域為E，值域為F．
（1）若E={1，2}，判斷實數(shù)λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣
與集合F的關(guān)系；
（2）若E={1，2，a}，F(xiàn)={0，
}，求實數(shù)a的值．
（3）若
，F(xiàn)=[2﹣3m，2﹣3n]，求m，n的值．
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．
的奇偶性；
上為減函數(shù)，求
的取值范圍．