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（本小題滿分14分）
如圖，在三棱錐P-ABC中， PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC上的一點(diǎn)，且PF:FC=3:1．
（1）求證：PA⊥BC；
（2）試在PC上確定一點(diǎn)G，使平面ABG∥平面DEF；
（3）在滿足（2）的情況下，求二面角G-AB-C的平面
角的正切值．
 

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（本小題滿分14分）
如圖，在三棱錐P－ABC中，底面△ABC為等邊三角形，∠APC＝90°，PB＝AC＝2PA＝4，O為AC的中點(diǎn)。

（Ⅰ）求證：BO⊥PA；
（Ⅱ）判斷在線段AC上是否存在點(diǎn)Q（與點(diǎn)O不重合），使得△PQB為直角三角形？若存在，試找出一個(gè)點(diǎn)Q，并求的值；若不存在，說明理由。

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一、選擇題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.共8小題，每小題5分，滿分40分．

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

B

C

D

A

C

B

D

二、填空題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算. 本大題共7小題，每小

題5分，滿分30分．其中13～15題為選做題，考生只能選做兩題. 第12題的第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分．

9.9  ；10. ；11. 80； 12.－1，4；  13.；  14.1.  15.

三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.

16.(本小題滿分12分)

(本題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力)

已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a=2， cosB=．

(1)若b=4，求sinA的值； (2) 若△ABC的面積S_△ABC=4，求b，c的值．

解：(1) ∵cosB=>0，且0<B<π，

∴sinB=.                              ……2分

由正弦定理得，                          ……4分

 .                           ……6分

(2) ∵S_△ABC=acsinB=4，                             ……8分

 ∴，  ∴c=5.                      ……10分

由余弦定理得b²=a²+c²－2accosB，

∴.……14分

17.(本小題滿分12分)

甲、乙兩名同學(xué)參加一項(xiàng)射擊游戲，兩人約定，其中任何一人每射擊一次，

擊中目標(biāo)得2分，未擊中目標(biāo)得0分.若甲、乙兩名同學(xué)射擊的命中率分別

為和p ，且甲、乙兩人各射擊一次所得分?jǐn)?shù)之和為2的概率為，假設(shè)

甲、乙兩人射擊互不影響.

(1)求p的值；

(2) 記甲、乙兩人各射擊一次所得分?jǐn)?shù)之和為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

(本題主要考查概率、隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力)

解：(1)設(shè)“甲射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件A，“乙射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件B，“甲射擊一次，未擊中目標(biāo)”為事件，“乙射擊一次，未擊中目標(biāo)”為事件，則

……1分

依題意得，                            ……3分

解得，故p的值為.                               ……5分

(2)ξ的取值分別為0，2，4.                               ……6分

，             ……8分

，                                      

 ，           ……10分

∴ξ的分布列為

ξ

0

2

4

P

……12分

∴Eξ=                     ……14分

18.(本小題滿分14分) 如圖4，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，

AB⊥AC，D、E、F分別是棱PA、PB、PC的中點(diǎn)，連接DE，DF，EF.

(1)求證: 平面DEF∥平面ABC；

(2)若PA=BC=2，當(dāng)三棱錐P-ABC的體積的最大值時(shí)，求二面角A-EF-D的平面角的余弦值..

(本題主要考查空間中的線面的位置關(guān)系、空間的角、幾何體體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力)

                      證明:∵D、E分別是棱PA、PB的中點(diǎn)，

∴DE是△PAB的中位線，∴DE∥AB，

∵DE平面PAB，ABÌ平面PAB，

                           ∴DE∥平面PAB，           ……2分

 ∵DE∩DF=D，DEÌ平面DEF，

   DFÌ平面DEF，

                           ∴平面DEF∥平面ABC.       ……4分

                         (2)求三棱錐P-ABC的體積的最大值，給出如下兩種解法：

解法1：由已知PA⊥平面ABC， AC⊥AB，PA=BC=2，

∴AB² +AC² =BC²=4，

∴三棱錐P-ABC的體積為

……6分

.

當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC時(shí)等號(hào)成立，V取得最大值，其值為，此時(shí)AB=AC=.

解法2：設(shè)AB=x，在△ABC中，(0<x<2)，

∴三棱錐P-ABC的體積為

                                           ……6分

，

 ∵0<x<2，0<x²<4，∴當(dāng)x²=2，即時(shí)，V取得最大值，其值為，此時(shí)AB=AC=.                                     ……8分

求二面角A-EF-D的平面角的余弦值..，給出如下兩種解法：

解法1：作DG⊥EF，垂足為G，連接AG，

∵PA⊥平面ABC，平面ABC∥平面DEF，∴P A⊥平面DEF，

∵EFÌ平面DEF，∴ P A⊥EF.

∵DG∩PA=D，∴EF⊥平面PAG，AGÌ平面PAG，∴EF⊥AG，

∴∠AGD是二面角A-EF-D的平面角.                   ……10分

                         在Rt△EDF中，DE=DF=，

                         ，∴.

                          在Rt△ADG中，

，

∴.

∴二面角A-EF-D的平面角的余弦值為.                ……14分

解法2：分別以AB、AC、AP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A(0，0，0)，D(0，0，1)，E(，0，1)，

F(0，，1). ∴.       ……9分

設(shè)為平面AEF的法向量，

則，

即，令，則，z=－1,

∴為平面AEF的一個(gè)法向量.              ……11分

∵平面DEF的一個(gè)法向量為，

∴，

                                                       ……13分

而與所成角的大小等于二面角A-EF-D的平面角的大小.  

∴二面角A-EF-D的平面角的余弦值為.                 ……14分

19. (本小題滿分12分)

某車間有50名工人，要完成150件產(chǎn)品的生產(chǎn)任務(wù)，每件產(chǎn)品由3個(gè)A 型零件和1個(gè)B 型零件配套組成. 每個(gè)工人每小時(shí)能加工5個(gè)A 型零件或者3個(gè)B 型零件，現(xiàn)在把這些工人分成兩組同時(shí)工作(分組后人數(shù)不再進(jìn)行調(diào)整)，每組加工同一中型號(hào)的零件.設(shè)加工A 型零件的工人人數(shù)為x名(x∈N^*)

(1)設(shè)完成A 型零件加工所需時(shí)間為f(x)小時(shí)，寫出f(x)的解析式；

(2)為了在最短時(shí)間內(nèi)完成全部生產(chǎn)任務(wù)，x應(yīng)取何值？

(本題主要考查函數(shù)最值、不等式、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解和應(yīng)用意識(shí))

解：(1) 生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工A型零件450個(gè)，則完成A型零件加工所需時(shí)間(x∈N*，且1≤x≤49).              ……2分   

(2) 生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工B型零件150個(gè)，則完成B型零件加工所需時(shí)間(x∈N*，且1≤x≤49).            ……4分設(shè)完成全部生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間h(x)小時(shí)，則h(x)為f(x)與 g(x)的較大者，

令f(x)≥g(x)，則，解得，

所以，當(dāng)1≤x≤32時(shí)，f(x)>g(x)；當(dāng)33≤x≤492時(shí)，f(x)<g(x).

故                 ……6分

當(dāng)1≤x≤32時(shí)，，故h(x)在[1，32]上單調(diào)遞減，

則h(x)在[1，32]上的最小值為(小時(shí))；       ……8分

當(dāng)33≤x≤49時(shí)，，故h(x)在[33，49]上單調(diào)遞增，

則h(x)在[33，49]上的最小值為(小時(shí))； ……10分

∵h(yuǎn)(33)> h(32)，∴h(x)在[1，49]上的最小值為h(32)， ∴x=32.

答：為了在最短時(shí)間內(nèi)完成全部生產(chǎn)任務(wù)，x應(yīng)取32.        ……12分

20 (本小題滿分14分)

已知?jiǎng)訄AC過點(diǎn)A(－2，0)，且與圓M：(x－2)²+x²=64相內(nèi)切

(1)求動(dòng)圓C的圓心的軌跡方程；

(2)設(shè)直線l: y=kx+m(其中k，m∈Z)與(1)所求軌跡交于不同兩點(diǎn)B，D，與雙曲線交于不同兩點(diǎn)E，F(xiàn)，問是否存在直線l，使得向量

，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請(qǐng)說明理由.

(本題主要考查圓、橢圓、直線等基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)探究，考查數(shù)形結(jié)合、類與整的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí))

解：（1）圓M：(x－2)²+x²=64，圓心M的坐標(biāo)為(2，0)，半徑R=8.

∵|AM|=4<R，∴點(diǎn)A(－2，0)在圓M內(nèi)，

設(shè)動(dòng)圓C的半徑為r，圓心為C，依題意得r= |CA|，且|CM|=R－r，

即|CM+|CA|=8>|AM|，                                    ……3分

∴圓心CD的軌跡是中心在原點(diǎn)，以A，M兩點(diǎn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓，

設(shè)其方程為(a>b>0)，則a=4，c=2，

∴b²=a²－c²=12，∴所求動(dòng)圓C的圓心的軌跡方程為.

……5分

(2)由消去y 化簡(jiǎn)整理得：(3+4k²)x²+8kmx+4m²－48=0，

設(shè)B(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)，則x₁+x₂=.

△₁=(8km)²－4(3+4k²) (4m²－48)>0.        ①           ……7分

由消去y 化簡(jiǎn)整理得：(3－k²)x²－2kmx－m²－12=0，

設(shè)E(x₃，y₃)，F(xiàn)(x₄，y₄)，則x₃+x₄=.

△₂=(－2km)²+4(3－4k²) (m²+12)>0.        ②           ……9分

∵，∴ (x₄－x₂ )+ (x₃－x₁) =0，即x₁+x₂= x₃+x₄，

∴，∴2km=0或，

解得k=0或m=0，                                   ……11分

當(dāng)k=0時(shí)，由①、②得，

∵m∈Z，∴m的值為－3，－2，－1，0，1，2，3；

當(dāng)m=0時(shí)，由①、②得，

∵k∈Z，∴k=－1，0，1.

∴滿足條件的直線共有9條.                          ……14分

21. (本小題滿分14分)

已知數(shù)列{a_n}的相鄰兩項(xiàng)a_n，a_n+1是關(guān)于x 的方程x²－2ⁿ x+ b_n=0 (n∈N^*)的兩根，且a₁=1.

(1)求證：數(shù)列{ a_n－×2ⁿ}是等比數(shù)列；

(2)設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和，問是否存在常數(shù)λ，使得b_n－λS_n>0對(duì)任意n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.     

(本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列前n項(xiàng)和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力和抽象概括能力)

(1)證法1：∵a_n，a_n+1是關(guān)于x 的方程x²－2ⁿ x+ b_n=0 (n∈N^*)的兩根，

∴                                        ……2分

由a_n+a_n+1=2ⁿ，得，故數(shù)列

是首項(xiàng)為，公比為－1的等比數(shù)列.                 ……4分

證法2：∵a_n，a_n+1是關(guān)于x 的方程x²－2ⁿ x+ b_n=0 (n∈N^*)的兩根，

∴                                        ……2分

∵，

故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為－1的等比數(shù)列.             

   ……4分

(2)解：由(1)得，即，

∴

                             ……6分

∴S_n=a₁+ a₂+ a₃+…+ a_n=[(2+2²+2³+…+2ⁿ)－[(－1)+ (－1)²+…+(－1)ⁿ]

，                        ……8分

要使得b_n－λS_n>0對(duì)任意n∈N^*都成立，

即對(duì)任意n∈N*都成立.

①當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，由(*)式得，

即，

∵2ⁿ⁺¹－1>0，∴對(duì)任意正奇數(shù)n都成立.

當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，有最小值1，∴λ<1. w.w.w.k.s.5 u.c.o.m           ……10分

①當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，由(*)式得，

即，

∵2ⁿ⁺¹－1>0，∴對(duì)任意正奇數(shù)n都成立.

當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，有最小值1，∴λ<1.           ……10分

②當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，由(*)式得，

即，

∵2ⁿ－1>0，∴對(duì)任意正偶數(shù)n都成立.

當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，有最小值1.5，∴λ<1.5.      ……12分

綜上所述，存在常數(shù)λ，使得b_n－λS_n>0對(duì)任意n∈N^*都成立，λ的取值范圍是(－∞，1).                                            ……14分