Question

（本小題滿分14分）

如圖，在三棱錐P－ABC中，底面△ABC為等邊三角形，∠APC＝90°，PB＝AC＝2PA＝4，O為AC的中點。

（Ⅰ）求證：BO⊥PA；

（Ⅱ）判斷在線段AC上是否存在點Q（與點O不重合），使得△PQB為直角三角形？若存在，試找出一個點Q，并求的值；若不存在，說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）在等邊△ABC中BO⊥AC，BO=，在直角△PAC中PO=2，在△PBO中，由PB=4，得PB²=PO²+BO²所以BO⊥PO所以BO⊥平面PAC所以BO⊥PA（Ⅱ）線段AC上存在點Q， 滿足使得△PQB為直角三角形

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明：如圖，連結PO，

在等邊△ABC中，因為O是AC的中點，且AC=4，

所以BO⊥AC，BO=。

在直角△PAC中，因為O是斜邊AC的中點，且AC=4，

所以PO=2，

在△PBO中，由PB=4，得PB²=PO²+BO²，

所以BO⊥PO。    3分

又因為AC∩PO=O，AC平面PAC，PO平面PAC，

所以BO⊥平面PAC，  5分

又因為PA平面PAC，

所以BO⊥PA。         7分

（Ⅱ）答：線段AC上存在點Q，使得△PQB為直角三角形。

具體過程如下：

如圖，過P作PM⊥AC于點M，連結BM，

因為BO⊥平面PAC，

所以BO⊥PM。

又因為BO∩AC=O，BO平面ABC，AC平面ABC，

所以PM⊥平面ABC，                                                10分

所以PM⊥BM，即△PMB為直角三角形。

故當點Q與點M重合時，△PQB為直角三角形。                            12分

在直角△PAC中，由∠APC=90°，AC=2PA=4，

得AM=1，（即AQ=1），MC=3（即QC=3），

所以當時，△PQB為直角三角形。                    14分

考點：線線垂直線面垂直的判定和性質

點評：線線垂直與線面垂直之間可以互為條件結論，本題主要利用兩者間的互相推出關系證明計算