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2009.5

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

A

D

B

A

C

A

B

C

D

二．填空題：本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，共20分。第11～13題為必做題，第14～15題，考生只能從中選做兩題，若全答只計前一題的得分。

11：；  12：甲；    13：；  14：；        15：；

解答提示

1．解：則，不符合，則，或，則，成立．

2.解：，故實部為．

3.解：，則，．

4.解：．

5.解：支出在元的頻率為．．

6.解：由真值表可判斷，若為假命題，則 至少有一假

7.解：當,由，當,由， ．

8.解：數形結合,將方程組有實數解,表示為直線與圓有公共點，則圓心到

　直線距離不超過半徑：．

9.解：設長方體的同一頂點的三條棱為，對角線在各面上的投影為面對角線長，

　故，，故球的表面積：．

10.解：如右圖，直線和的交點為，

且、，故所求概率為．

11.解：周期．

12. 解：平均數，方差，，故甲發揮比乙穩定．

13. 解：已知雙曲線，，，且不妨設

　　由得，又，則為直角三角形

　　故．

14. 解：曲線表示的橢圓標準方程為，可知點、

　　橢圓的焦點，故．

15. 解：為直徑所對的圓周角，則，在中，，

    由等面積法有，故得．

三．解答題：本大題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明、演算步驟或推證過程。

16. （本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）為銳角，

   ，                 

   ；                  …………………4分

   ∴……… 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，∴        …………………7分

　由正弦定理，可得      …………………9分

  ∴             …………………12分

17. （本小題滿分12分）

解: （I） 用　甲乙丙甲　表示一種傳球方法，（也可用樹形圖表示，如下圖）

　所有傳球方法共有

　　甲乙甲乙；　甲乙甲丙；　　甲乙丙甲；　　甲乙丙乙；

　　甲丙甲乙；　甲丙甲丙；　　甲丙乙甲；　　甲丙乙丙；

　則共有８種傳球方法　　　　　　　　　　        …………………………………………8分

                                        （情況列舉不足或過剩給4分）

（Ⅱ）記求第3次球恰好傳回給甲的事件為，          

由（I）可知共有兩種情況，則

　．　                      …………………………………………12分

18．（本小題滿分14分）

證明：（Ⅰ）證法一：取中點為，連結，中，…………1分

  ∵，∴且…………2分

又∵且，

∴且 …………3分

四邊形為平行四邊形，∴…………4分

∵平面，平面，

∴平面，　　　        ………………7分

證法二：由圖1可知，…………1分

折疊之后平行關系不變

∵平面，平面，

∴平面，

同理平面　   …………4分

∵，平面，

　　∴平面平面 　　　　　　　　　…………6分

∵平面，∴平面          …………7分

（Ⅱ）解法1: ∵                     …………8分

      由圖1可知

∵平面平面，平面平面

平面，

∴平面，　　　　　　　　　　　　…………11分

    由圖1可知…………12分

    ∴

    解法2: 由圖1可知，

∵

∴平面，                        …………9分

∵

點到平面的距離等于點到平面的距離為1，…………11分

    由圖1可知…………12分

    ∴

解法3: 過作,垂足為,…………8分

由圖1可知

∵平面平面，

平面平面

平面，

∴平面，　　　　　

∵平面∴，

    平面              …………11分

     由，，

　　，  …………12分

   在中,由等面積法可得…………13分

∴…………14分

19. （本小題滿分14分）

解：（Ⅰ）　已知橢圓的短半軸為，半焦距為，

　由離心率等于　　　　　　　　         …………………………2分

  ∴，　　　　　　　　　                           …………………………３分

  ∴橢圓的上頂點，∴拋物線的焦點為，

　∴拋物線的方程為　                            　…………………………6分

（Ⅱ）設直線的方程為，，

  ∴  ∴切線、的斜率分別為、　     …………………………8分

  當時，即：　                      …………………………9分

   由得： 

  解得或 ①

　∴即：