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已知函數g₁（x）=lnx，g₂（x）=

1

2

ax²+（1-a）x（a∈R且a≠0）．
（1）設f（x）=g₁（x）-g₂（x），求函數f（x）的單調區間；
（2）設函數g₁（x）的圖象曲線C₁與函數g₂（x）的圖象c₂交于的不同兩點A、B，過線段AB的中點作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點M、N．證明：C₁在M處的切線與C₂在N處的切線不平行．

已知函數f（x）=lnx，g(x)=

1

2

ax2+bx(a≠0)
（1）若a=-2時，h（x）=f（x）-g（x）在其定義域內單調遞增，求b的取值范圍；
（2）設函數f（x）的圖象C₁與函數g（x）的圖象C₂交于P，Q兩點，過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點M，N，問是否存在點R，使C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行？若存在，求R的橫坐標，若不存在，請說明理由．

（2012•廈門模擬）已知：f(x)=x+

a+1

x

(a∈R)，g(x)=lnx．
（I）若f′（1）=2，求a的值；
（Ⅱ）已知a＞e-1，若在[1，e]（e=2.718…）上存在一點x₀，使得f（x₀）＜ag（x₀）成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）設函數g（x）的圖象C₁與函數y=

1

2

x

2

+bx的圖象C₂交于點A、B，過線段A、B的中點M作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點P、Q，問是否存在點M使C₁在P處的切線與C₂在Q處的切線平行？若存在，求出M的橫坐標；若不存在，請說明理由．

已知函數f（x）=lnx，g(x)=

1

2

ax2+bx，記h（x）=f（x）-g（x）．
（1）若a=0，且h（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，求實數b的取值范圍；
（2）若b=2，且h（x）=f（x）-g（x）存在單調遞減區間，求a的取值范圍；
（3）若a≠0，設函數f（x）的圖象C₁與函數g（x）圖象C₂交于點P、Q，過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C₁，C₂于點M、N，請判斷C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線能否平行，并說明你的理由．