Question

已知函數f（x）=lnx，g(x)=

1

2

ax2+bx，記h（x）=f（x）-g（x）．
（1）若a=0，且h（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，求實數b的取值范圍；
（2）若b=2，且h（x）=f（x）-g（x）存在單調遞減區間，求a的取值范圍；
（3）若a≠0，設函數f（x）的圖象C₁與函數g（x）圖象C₂交于點P、Q，過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C₁，C₂于點M、N，請判斷C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線能否平行，并說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）利用導數求函數h（x）在（0，+∞）上的最大值即可．
（2）利用導數求函數的單調遞減區間．
（3）求導數，研究兩條切線的斜率關系，從而確定是否平行．

解答：解：（1）不等式lnx-bx＜0⇒

lnx

x

＜b，函數p(x)=

lnx

x

，x∈（0，+∞），由p/(x)=

1-lnx

x2

=0，得x=e，
所以p（x）先增后減，
最大值為p(e)=

1

e

，b＞

1

e

（2）b=2時，h(x)=lnx-

1

2

ax2-2x，
則h′(x)=

1

x

-ax-2=-

ax2+2x-1

x

．
當a=0時，x＞

1

2

時，h′（x）＜0，函數為減函數；
當a＞0時，y=ax²+2x-1為開口向上的拋物線，ax²+2x-1＞0，總有x＞0；
當a＜0時，y=ax²+2x-1為開口向下的拋物線，而ax²+2x-1＞0，總有x＞0；
則△=4+4a＞0，且方程ax²+2x-1=0至少有一正根．此時，-1＜a＜0，
綜上：a∈（-1，+∞）
（3）不能平行．
設點P、Q的坐標分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂．
則點M、N的橫坐標為x=

x1+x2

2

假設C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線平行得：

2

x1+x2

=

a(x1+x2)

2

+b，點P、Q的坐標代入函數表達式
兩式相減得：

2(x2-x1)

x1+x2

=lnx2-lnx1⇒ln

x2

x1

=

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

設t=

x2

x1

，則lnt=

2(t-1)

1+t

，t＞1．令r(t)=lnt-

2(t-1)

1+t

，t＞1．
得用導數得r（t）在[1，+∞）上單調遞增．故r（t）＞r（1）=0．
所以lnt=

2(t-1)

1+t

，t＞1不成立，即兩切線不可能平行．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性，極值和最值，要求熟練掌握它們對應的關系．