Question

（2012•廈門模擬）已知：f(x)=x+

a+1

x

(a∈R)，g(x)=lnx．
（I）若f′（1）=2，求a的值；
（Ⅱ）已知a＞e-1，若在[1，e]（e=2.718…）上存在一點x₀，使得f（x₀）＜ag（x₀）成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）設函數g（x）的圖象C₁與函數y=

1

2

x

2

+bx的圖象C₂交于點A、B，過線段A、B的中點M作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點P、Q，問是否存在點M使C₁在P處的切線與C₂在Q處的切線平行？若存在，求出M的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）求導函數，利用f′（1）=2，可求a的值；
（Ⅱ）設F（x）=f（x）-ag（x）=x+

a+1

x

-alnx（x＞0），則若在[1，e]（e=2.718…）上存在一點x₀，使得f（x₀）＜ag（x₀）成立，等價于x∈[1，e]，F_min（x）＜0，由此可求a的取值范圍；
（Ⅲ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且0＜x₁＜x₂，則P，Q的橫坐標均為x=

x1+x2

2

，確定C₁在P處的切線斜率為k₁=

1

x

=

2

x1+x2

；C₂在Q處的切線斜率為k₂=x+b=

x1+x2

2

+b，假設C₁在P處的切線與C₂在Q處的切線平行，則k₁=k₂，由此可引出矛盾，故得解．

解答：解：（I）求導函數，可得f′（x）=1-

a+1

x2

∴f′（1）=1-（a+1）=2，
∴a=-2；
（Ⅱ）設F（x）=f（x）-ag（x）=x+

a+1

x

-alnx（x＞0），則若在[1，e]（e=2.718…）上存在一點x₀，使得f（x₀）＜ag（x₀）成立，等價于x∈[1，e]，F_min（x）＜0
求導函數可得F′（x）=

(x+1)[x-(a+1)]

x2

令F′（x）=0得x=a+1或x=-1（舍去）
∵a＞e-1，∴x=a+1＞e
∵x∈（0，a+1），F′（x）＜0，函數遞減
∴F（x）在[1，e]上單調遞減
∴F_min（x）=F（e）=e+

a+1

e

-a＜0
∴a＞

e2+1

e-1

∵a＞e-1，

e2+1

e-1

＞e-1，∴a＞

e2+1

e-1

∴a的取值范圍為(

e2+1

e-1

，+∞)；
（Ⅲ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且0＜x₁＜x₂，則P，Q的橫坐標均為x=

x1+x2

2

C₁在P處的切線斜率為k₁=

1

x

=

2

x1+x2

；C₂在Q處的切線斜率為k₂=x+b=

x1+x2

2

+b
假設C₁在P處的切線與C₂在Q處的切線平行，則k₁=k₂，即

2

x1+x2

=

x1+x2

2

+b
∴

2(x2-x1)

x1+x2

=

x22-x12

2

+b（x₂-x₁）=lnx₂-lnx₁，
∴ln

x2

x1

=

2(x2-x1)

x1+x2

=

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

設u=

x2

x1

＞1，在lnu=

2(u-1)

1+u

（u＞1）①
設h（u）=lnu-

2(u-1)

1+u

（u＞1），則h′（u）=

(u-1)2

u(u+1)2

∵u＞1，∴h′（u）＞0
∴h（u）在[1，+∞）上單調遞增，故h（u）＞h（1）=0
∴lnu＞

2(u-1)

1+u

這與①矛盾，假設不成立
∴C₁在P處的切線與C₂在Q處的切線不平行．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查學生分析解決問題的能力，難度大．