題目列表(包括答案和解析)
已知中心在坐標原點，焦點在
軸上的橢圓C；其長軸長等于4,離心率為
．
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)若點
(0,1), 問是否存在直線
與橢圓
交于
兩點,且
？若存在,求出
的取值范圍,若不存在,請說明理由.
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解，直線與橢圓的位置關系的運用。
第一問中，可設橢圓的標準方程為
則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2．又
,所以
,
又由于
所求橢圓C的標準方程為
第二問中，
假設存在這樣的直線
,設
,MN的中點為
因為|ME|=|NE|所以MN
EF所以
(i)其中若
時,則K=0,顯然直線
符合題意;
(ii)下面僅考慮
情形:
由
,得,
,得
代入1,2式中得到范圍。
(Ⅰ) 可設橢圓的標準方程為
則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2．又,所以,
又由于
所求橢圓C的標準方程為
(Ⅱ) 假設存在這樣的直線,設,MN的中點為
因為|ME|=|NE|所以MNEF所以
(i)其中若時,則K=0,顯然直線符合題意;
(ii)下面僅考慮情形:
由,得,
,得……② ……………………9分
則
．
代入①式得,解得
………………………………………12分
代入②式得
,得
．
綜上(i)(ii)可知,存在這樣的直線
,其斜率k的取值范圍是
的直線l，交雙曲線左支于A，B兩點，交y軸于點C，且滿足|PA|· |PB|=|PC|2。
上一動點，求|MN|的取值范圍。
sinθ+cosθ，其中，角θ的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，終邊經過點P（x，y），且0≤θ≤π。
，求f（θ）的值。
上的一個動點，試確定角θ的取值范圍，并求函數f（θ）的最小值和最大值。.橢圓
＞
＞
與直線
交于
、
兩點，且
，其
中
為坐標原點。
1）求
的值；
2）若橢圓的離心率
滿足
，求橢圓長軸的取值范圍。
1．解析：
，故選A。
2．解析：∵
，
故選B。
3．解析：由
，得
，此時
，所以，
，故選C。
4．解析：顯然，若
與
共線，則
與
共線；若與共線，則
，即
，得
，∴與共線，∴與共線是與共線的充要條件，故選C。
5．解析：設公差為
，由題意得，
；
，解得
或
，故選C。
6．解析：∵雙曲線
的右焦點到一條漸近線的距離等于焦距的
，∴
，又∵
，∴
，∴
，∴雙曲線的離心率是
。故選B.
7.解析：∵
、
為正實數，∴
，∴
；由均值不等式得
恒成立，
，故②不恒成立，又因為函數
在
是增函數，∴
，故恒成立的不等式是①③④。故選C.
8．解析：∵
，∴
在區間
上恒成立，即
在區間上恒成立，∴
，故選D。
9．解析：∵
，此函數的最小值為
，故選C。
10．解析：如圖，∵正三角形
的邊長為
，∴
，∴
，又∵
，∴
，故選D。
11．解析：∵
在區間
上是增函數且
，∴其反函數
在區間上
是增函數，∴
，故選A
12．解析：如圖，①當
或
時，圓面
被分成2塊，涂色方法有20種；②當
或
時，圓面被分成3塊，涂色方法有60種；
③當
時，圓面被分成4塊，涂色方法有120種，所以m的取值范圍是
，故選A。
13．解析：做出
表示的平面區域如圖，當直線
經過點
時，
取得最大值5。
14.解析：∵
，∴
時，
，又
時，
滿足上式，因此，
，
∴
。
15．解析：設正四面體的棱長為，連
，取的中點
，連
，∵
為
的中點，∴
∥，∴
或其補角為與
所成角，∵
，
，∴
，∴
，又∵
，∴
，∴與所成角的余弦值為
。
16．解析：∵
，∴
，∵點
為
的準線與
軸的交點，由向量的加法法則及拋物線的對稱性可知，點
為拋物線上關于軸對稱的兩點且做出圖形如右圖，其中
為點
到準線的距離，四邊形
為菱形，∴
，∴
，∴
，∴
，∴
，∴向量
與
的夾角為
。
17．(10分)解析：（Ⅰ）由正弦定理得，
，
，…2分
∴
，
，………4分
（Ⅱ）∵
，
，∴
，∴
，………………………6分
又∵
，∴
，∴
，………………………8分
∴
。………………………10分
18.解析：（Ⅰ）∵
，∴
；……………………理3文4分
（Ⅱ）∵三科會考不合格的概率均為
，∴學生甲不能拿到高中畢業證的概率
；……………………理6文8分
（Ⅲ）∵每科得A，B的概率分別為
，∴學生甲被評為三好學生的概率為
。……………………12分
（理）∵
，
，
，
。……………………9分
∴
的分布列如下表：
0
1
2
3
∴的數學期望
。……………………12分
19．(12分)解析：（Ⅰ）
時，
，
，
由
得，
或
………3分
+
0
－
0
+
遞增
極大值
遞減
極小值
遞增
，
………………………6分
（Ⅱ）
在定義域
上是增函數，
對
恒成立，即
………………………9分
又
（當且僅當
時，
）
………………………4分
20．解析：（Ⅰ）∵
∥
，
，∴
，∵
底面
，∴
，∴
平面
，∴
，又∵
平面
，∴
，∴
平面
，∴
。………………………4分
（Ⅱ）∵平面，∴
，
，∴
為二面角
的平面角，………………………6分
，
，∴
，又∵平面，
，∴
，∴二面角的正切值的大小為
。………………………8分
（Ⅲ）過點
做
∥，交于點，∵平面，∴
為在平面內的射影，∴
為與平面所成的角，………………………10分
∵
，∴
，又∵∥，∴和與平面所成的角相等，∴與平面所成角的正切值為
。………………………12分
解法2：如圖建立空間直角坐標系，（Ⅰ）∵，
，∴點
的坐標分別是
，
，
，∴
，
，設
，∵平面，∴
，∴
，取
，∴
，∴。………………………4分
（Ⅱ）設二面角的大小為
，∵平面的法向量是，平面
的法向量是
，∴
，∴
，∴二面角的正切值的大小為。………………………8分
（Ⅲ）設與平面所成角的大小為，∵平面的法向量是
，
，∴
，∴
，∴與平面所成角的正切值為。………………………12分
21.（Ⅰ） 解析：如圖，設右準線
與軸的交點為
，過點分別向軸及右準線引垂線
，∵
，∴
，又∵
∥，∴
，………………………2分
∴
，又∵
，∴
，又∵，解得
，∴
，∴雙曲線的方程為
。………………………4分
（Ⅱ）聯立方程組 
消
得：
由直線
與雙曲線
交于不同的兩點得：
即 
于是 
，且
………………①………………………6分
設
、
，則
……………………9分
又
，所以
，解得
……………②
由①和②得
即
或
故
的取值范圍為
。………………………12分
22．(12分)解析：（Ⅰ）∵
，∴
，∴
，∴數列
是等差數列，………………………2分
又∵
，
，∴公差為2，
∴
，………………………4分
（Ⅱ）∵
，∴
，
∴數列
是公比為2的等比數列，
∵
，∴
，………………………6分
（Ⅲ）∵
，
∴
………………………8分
∴
………………………10分
∵
，∴
，又∵
，∴
………………………12分
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