Question

已知二次函數g(x)的圖象經過坐標原點，且滿足g(x+1)=g(x)+2x+1，設函數f(x)=mg(x)-ln(x+1)，其中m為非零常數．
(Ⅰ)求函數g(x)的解析式；
(Ⅱ)若f(x)為單調減函數，求m的范圍；
(Ⅲ)當m＞0，x∈[0，1]時，求f(x)的最大值。

Answer 1

解：(Ⅰ)設g(x)=ax²+bx+c，g(x)的圖象經過坐標原點，所以，c=0，
∵g(x+1)=g(x)+2x+1，
∴a(x+1)²+b(x+1)=ax²+bx+2x+1，
即：ax²+(2a+b)x+a+b=ax²+(b+2)x+l，
∴a=1，b=0，g（x)=x²。
(Ⅱ)函數f(x)=mx²-ln(x+1)的定義域為（-1，+∞），
令ψ(x)=2mx²+2mx-1，
由已知f′(x)≤0在（-1，+∞）上恒成立，
即ψ(x)=2mx²+2mx-l≤0在（-1，+∞）上恒成立，
①當m＞0時，不符合條件；

 ②當m＜0，ψ(x)的圖象如下，

只需，
即，
∴m≥-2，
綜上：-2≤m＜0。
(Ⅲ)由已知
①ψ(1)=4m-1≤0時，即0＜m≤時，f(x)′≤0在[0，1]上恒成立，
f(x)在[0，1]上遞減，f(x)_max=f(0)=0；
②當m＞時，

，設，
則f（x）在，
f(0)=0，f(1)=m-ln2，
當＜m＜ln2時，f(x)_max=f(0)=0；
當m≥ln2時，f(x)_max=f(1)=m-ln2；
綜上：0＜m＜ln2時，f(x)_max=f(0)=0；m≥ln2時，f(x)_max=f(1)=m-ln2．