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平面直角坐標系內(nèi)的向量都可以用一有序?qū)崝?shù)對唯一表示，這使我們想到可以用向量作為解析幾何的研究工具．如圖，設直線l的傾斜角為α(α≠90°)．在l上任取兩個不同的點，，不妨設向量的方向是向上的，那么向量的坐標是()．過原點作向量，則點P的坐標是()，而且直線OP的傾斜角也是α．根據(jù)正切函數(shù)的定義得

，

這就是《數(shù)學2》中已經(jīng)得到的斜率公式．上述推導過程比《數(shù)學2》中的推導簡捷．你能用向量作為工具討論一下直線的有關問題嗎？例如：

(1)過點，平行于向量的直線方程；

(2)向量(A，B)與直線的關系；

(3)設直線和的方程分別是

，

，

那么，∥，的條件各是什么？如果它們相交，如何得到它們的夾角公式？

(4)點到直線的距離公式如何推導？

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在同一平面內(nèi)，邊長為2的等邊△ABC的兩個頂點B、C分別再兩條平行直線l₁，l₂上，另一個頂點A在直線l₁、l₂之間，AB與l₁的夾角為θ，0^o＜θ＜60^o．
（I）當θ=45^o時，求點A到直線l₁的距離；
（II）若點A到直線l₁、l₂的距離分別為d₁、d₂，記d₁•d₂=f（θ），求f（θ）的取值范圍．

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在同一平面內(nèi)，邊長為2的等邊△ABC的兩個頂點B、C分別再兩條平行直線l₁，l₂上，另一個頂點A在直線l₁、l₂之間，AB與l₁的夾角為θ，0^o＜θ＜60^o．
（I）當θ=45^o時，求點A到直線l₁的距離；
（II）若點A到直線l₁、l₂的距離分別為d₁、d₂，記d₁•d₂=f（θ），求f（θ）的取值范圍．

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如圖，直線AB是平面α的斜線，A為斜足，若點P在平面α內(nèi)運動，使得點P到直線AB的距離為定值a（a＞0），則動點P的軌跡是（　　）

A．圓

B．橢圓

C．一條直線

D．兩條平行直線

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如圖，直線AB是平面α的斜線，A為斜足，若點P在平面α內(nèi)運動，使得點P到直線AB的距離為定值a（a＞0），則動點P的軌跡是（　　）

A．圓	B．橢圓
C．一條直線	D．兩條平行直線

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1．A      2．C       3．B       4．A      5．C       6．C       7．D      8．C       9．D      10．B

1l．B      12．A

1．解析：，故選A．

2．解析：

       ，∴選C．

3．解析：是增函數(shù) 

       故，即

       又

       ，故選B．

4．解析：如圖作出可行域，作直線，平移直線至位置，使其經(jīng)過點．此時目標函數(shù)取得最大值（注意與反號）

由得

       ，故選A

5．解析：設有人投中為事件，則，

       故選C．

6．解析：展開式中能項；

       由，得，故選C．

7．解析：

       由得

，故選D．

8．略

9．解析：由得準線方程，雙曲線準線方程為

       ，解得，

       ，故選D．

10．解析：設正四面體的棱長為2，取中點為，連接，則為與所成的角，在中

，故選B．

11．解析：由題意，則，故選B．

12．解析：由已知，

       為球的直徑

       ，又，

       設，則

       ，

       又由，解得

       ，故選A．

另法：將四面體置于正方休中．

       正方體的對角線長為球的直徑，由此得，然后可得．

二、

13．解析：在上的投影是．

14．解析：，且．

15．解析：，

       由余弦定理為鈍角

       ，即，

       解得．

16．

解析：容易知命題①是錯的，命題②、③都是對的，對于命題④我們考查如圖所示的正方體，設棱長為，顯然與為平面內(nèi)兩條距離為的平行直線，它們在底面內(nèi)的射影、仍為兩條距離為的平行直線，但兩平面與卻是相交的．

三、

17．解：（1），

              ，

即，故．

       （2）

              由得．

設邊上的高為，則

．

18．（1）設甲、乙兩人同時參加災區(qū)服務為事件，則．

（2）記甲、乙兩人同時參加同一災區(qū)服務為事件，那么．

（3）隨機變量可能取得值為1，2，事件“”是指有兩人同時參加災區(qū)服務，則，所以．

分布列是

1

2

19．解：（1）平面

              ∵二面角為直二面角，且，

平面              平面．

（2）（法一）連接與高交于，連接是邊長為2的正方形，                  ，

二平面，由三垂線定理逆定理得

是二面角的平面角

由（1）平面，

．

在中，

∴在中，

故二面角等于．

（2）（法二）利用向量法，如圖以之中點為坐標原點建立空間坐標系，則

              ，

              設平面的法向量分別為，則由

              得，而平面的一個法向理

              故所求二面角等于．

20．解：（1）由題設，即

              易知是首項為、公差為2的等差數(shù)列，

              ∴通項公式為，

       （2）由題設，，得是以公比為的等比數(shù)列．

              由得．

21．解：（1）由題意，由拋物線定義可求得曲線的方程為．

（2）證明：設、的坐標分別為

             若直線有斜率時，其坐標滿足下列方程組：

              ，        

              若沒有斜率時，方程為．

              又．

              ；又，

                          ．

22．（1）解：，于是，

              解得或

              因，故．

（2）證明：已知函數(shù)都是奇函數(shù)．

所以函數(shù)也是奇函數(shù)，其圖象是以原點為中心的中心對稱圖形，而．

可知．函數(shù)的圖象按向量平移，即得到函數(shù)的圖象，故函數(shù)的圖象是以點（1，1）為中心的中心對稱圖形，

（3）證明；在曲線上作取一點，

       由知，過此點的切線方程為

．

令，得，切線與直線交點為．

令，得切線與直線交點為，直線與直線與直線的交點為（1，1）．

從而所圍三角形的面積為        

所以，圍成三角形的面積為定值2．

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