Question

在同一平面內，邊長為2的等邊△ABC的兩個頂點B、C分別再兩條平行直線l₁，l₂上，另一個頂點A在直線l₁、l₂之間，AB與l₁的夾角為θ，0^o＜θ＜60^o．
（I）當θ=45^o時，求點A到直線l₁的距離；
（II）若點A到直線l₁、l₂的距離分別為d₁、d₂，記d₁•d₂=f（θ），求f（θ）的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）過點A作直線l₁的垂線，垂足為M，然后解三角形，求點A到直線l₁的距離；
（II）過點A作直線l₂的垂線，垂足為N，點A到直線l₁、l₂的距離分別為d₁、d₂，表示出d₁、d₂，和d₁•d₂=f（θ），然后求f（θ）的取值范圍．
解答：解：（I）過點A作直線l₁的垂線，垂足為M，
在Rt△ABM中，sin45°=，
∴|AM|=2sin45°=2×
即：點A到直線l₁的距離為．

（II）過點A作直線l₂的垂線，垂足為N，
∵AB與l₂的夾角為θ，∴AC與l₂的夾角為60°-θ，
在Rt△ABM，d₁=AM=2sinθ
在Rt△ACN，d₂=AN=2sin（60°-θ）
d₁•d₂═4sin（60°-θ）sinθ
=
=
=2sin（2θ+30°）-1
∵0°＜θ＜60°∴30°＜2θ+30°＜150°
∴＜sin（2θ+30°）≤1，∴d₁d₂∈（0，1]
點評：本題考查點到直線的距離，正弦函數的定義域和值域，考查學生的計算能力，是中檔題．