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已知二次函數的圖像經過坐標原點，且滿足，設函數,其中為非零常數
(I)求函數的解析式；
(II)當 時，判斷函數的單調性并且說明理由；
(III)證明：對任意的正整數,不等式恒成立

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                           2008年7月

【課前預習】

答案: 1、;  2、B.【試題分析】令，可求得：。易知函數的零點所在區間為。

 3、;   4、-4。

四．典例解析

題型1：方程的根與函數零點

例1． 分析：利用函數零點的存在性定理或圖像進行判斷。

解析：（1）方法一：

∴

故。

方法二：

令解得，

所以函數。

（2）∵，

     ∴。

（3）∵，

       ，

     ∴，故在存在零點。

評析：函數的零點存在性問題常用的辦法有三種：一是定理；二是用方程；三是用圖像

例2． 解析：（1）方法一令則根據選擇支可以求得＜0；＜0；＞0.因為＜0可得零點在(2，3)內選C

方法二：在同一平面直角坐標系中，畫出函數y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖)。它們的交點橫坐標，顯然在區間(1，3)內，由此可排除A，D至于選B還是選C，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了。實際上這是要比較與2的大小。當x=2時，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2＜1，因此＞2，從而判定∈(2，3)，故本題應選C

（2）原方程等價于

即

構造函數和，作出它們的圖像，易知平行于x軸的直線與拋物線的交點情況可得：

①當或時，原方程有一解；

②當時，原方程有兩解；

③當或時，原方程無解。

點評：圖象法求函數零點，考查學生的數形結合思想。本題是通過構造函數用數形結合法求方程lgx+x=3解所在的區間。數形結合，要在結合方面下功夫。不僅要通過圖象直觀估計，而且還要計算的鄰近兩個函數值，通過比較其大小進行判斷

題型2：零點存在性定理

例3．解析：（1）函數f(x)=x－ln(x+m),x∈(－m,+∞)連續，且

當x∈(－m,1－m)時,f ^’（x）<0,f(x)為減函數,f(x)>f(1－m)

當x∈(1－m, +∞)時,f ^’（x）>0,f(x)為增函數,f(x)>f(1－m)

根據函數極值判別方法，f(1－m)=1－m為極小值，而且

對x∈(－m, +∞)都有f(x)≥f(1－m)=1－m

故當整數m≤1時，f(x) ≥1－m≥0

(2)證明：由（I）知，當整數m>1時，f(1－m)=1-m<0,

函數f(x)=x－ln(x+m),在 上為連續減函數.

由所給定理知，存在唯一的

而當整數m>1時，

類似地，當整數m>1時，函數f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續增函數且 f(1-m)與異號，由所給定理知，存在唯一的

故當m>1時，方程f(x)=0在內有兩個實根。

點評：本題以信息給予的形式考察零點的存在性定理。解決該題的解題技巧主要在區間的放縮和不等式的應用上。

例4． 解析：由零點存在性定理可知選項D不正確；對于選項B，可通過反例“在區間上滿足，但其存在三個解”推翻；同時選項A可通過反例“在區間上滿足，但其存在兩個解”；選項D正確，見實例“在區間上滿足，但其不存在實數解”。

點評：該問題詳細介紹了零點存在性定理的理論基礎。

題型3：二分法的概念

例5． 解析：如果函數在某區間滿足二分法題設，且在區間內存在兩個及以上的實根，二分法只可能求出其中的一個，只要限定了近似解的范圍就可以得到函數的近似解，二分法的實施滿足零點存在性定理，在區間內一定存在零點，甚至有可能得到函數的精確零點。

點評：該題深入解析了二分法的思想方法。

例6．解析：由四舍五入的原則知道，當時，精度達到。此時差限是0.0005，選項為C。

點評：該題考察了差限的定義，以及它對精度的影響。

題型4：應用“二分法”求函數的零點和方程的近似解

例7． 解析：原方程即。令，

用計算器做出如下對應值表

x

－2

－1

0

1

2

f(x)

2.5820

3.0530

27918

1.0794

－4.6974

觀察上表，可知零點在（1，2）內

取區間中點=1.5，且，從而，可知零點在（1，1.5）內；

再取區間中點=1.25，且，從而，可知零點在（1.25，1.5）內；

同理取區間中點=1.375，且，從而，可知零點在（1.25，1.375）內；

由于區間（1.25，1.375）內任一值精確到0.1后都是1.3。故結果是1.3。

點評：該題系統的講解了二分法求方程近似解的過程，通過本題學會借助精度終止二分法的過程。

例8． 分析：本例除借助計算器或計算機確定方程解所在的大致區間和解的個數外，你是否還可以想到有什么方法確定方程的根的個數？

略解：圖象在閉區間，上連續的單調函數，在，上至多有一個零點。

點評：①第一步確定零點所在的大致區間，，可利用函數性質，也可借助計算機或計算器，但盡量取端點為整數的區間，盡量縮短區間長度，通常可確定一個長度為1的區間；

②建議列表樣式如下：

零點所在區間

中點函數值

區間長度

[1，2]

>0

1

[1，1.5]

<0

0.5

[1.25，1.5]

<0

0.25

如此列表的優勢：計算步數明確，區間長度小于精度時，即為計算的最后一步。

題型5：一元二次方程的根與一元二次函數的零點

例9． 分析：從二次方程的根分布看二次函數圖像特征，再根據圖像特征列出對應的不等式（組）。

解析：（1）設，

由，知∴，

∴

（2）令

∴，

且，∴，∴，

綜上，。

評析：二次方程、二次函數、二次不等式三者密不可分。

例10．解析：設，則的二根為和。

（1）由及，可得  ，即，

即       兩式相加得，所以，；

（2）由, 可得  。

又，所以同號。

∴ ，等價于

或,

即   或

解之得  或。

點評：條件實際上給出了的兩個實數根所在的區間，因此可以考慮利用上述圖像特征去等價轉化。

【課外作業】

1． 答案:A，令即可；

2． 答案:B;

3．答案:C，由可得關于對稱，∴,∴∴，∴，∵，∴。

4、 答案:D, ∵,∴∴, ∴

5． 答案:C，先求出，根據單調性求解；

五．思維總結

1．函數零點的求法：

①（代數法）求方程的實數根；

②（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點。

2．解決二次函數的零點分布問題要善于結合圖像，從判別式、韋達定理、對稱軸、區間端點函數值的正負、二次函數圖像的開口方向等方面去考慮使結論成立的所有條件。函數與方程、不等式聯系密切，聯系的方法就是數形結合。