Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（-1）=0，試判斷函數f（x）零點個數；
（2）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同時滿足以下條件：①對任意x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；②對任意x∈R，都有0≤f(x)-x≤

1

2

(x-1)2，若存在，求出a，b，c的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）通過對二次函數對應方程的判別式進行分析判斷方程根的個數，從而得到零點的個數；
（2）存在性問題的一般處理方法就是假設存在，然后根據題設條件求得參數的值．

解答：解：（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+c=0即b=a+c，
故△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²
當a=c時，△=0，函數f（x）有一個零點；
當a≠c時，△＞0，函數f（x）有兩個零點．
（2）假設存在a，b，c滿足題設，由條件①知拋物線的對稱軸為x=-1
且f(x)min=0；?∴

- b 2a =-1 4ac-b2 4a =0

?

b=2a b2=4ac

?a=c
在條件②中令x=1，有0≤f（1）-1≤0，?
∴f（1）=1，
?即a+b+c=1
由

a+b+c=1 b=2a a=c

?a=c=

1

4

， b=

1

2

（檢驗略）
∴存在a=

1

4

， b=

1

2

， c=

1

4

使f（x）同時滿足條件①②．

點評：本題考查函數零點個數與方程根的個數問題，以及存在性問題的處理方式，屬于較難的題目．