Question

已知二次函數的圖像經過坐標原點，且滿足，設函數,其中為非零常數

(I)求函數的解析式；

(II)當 時，判斷函數的單調性并且說明理由；

 (III)證明：對任意的正整數,不等式恒成立

Answer 1

解析:

（Ⅰ）設，的圖象經過坐標原點，所以c=0.

∵ ∴

         即：

          ∴a=1,b=0, ；……………………………………４分

（Ⅱ）函數的定義域為

．，

令，，

，

∵，∴，在上恒成立，

  即，當時,函數在定義域上單調遞減．………９分

（III）當時，，令 

則在上恒正，

∴在上單調遞增，當時，恒有.，

即當時，有，

對任意正整數，取得．………………１３分