題目列表(包括答案和解析)
已知函數
滿足
，其中
且
．
（1）求函數的解析式，并判斷其奇偶性單調性；
（2）對于函數，當
時，
，求實數
的取值范圍；
（3）當
時，
的值恒為負數，求
的取值范圍．
求下列冪函數的定義域，并指出其奇偶性、單調性．
(1)y＝
；(2)y＝
；(3)y＝
；(4)y＝x－2．
問題1：觀察以上函數的解析式，你能發現解析式中對于自變量x都有哪些限制條件嗎？
問題2：如何來判斷函數的奇偶性呢？
3．探究：請同學們根據我們以上的分析，把上述函數圖象的大概形狀畫出來．并總結歸納冪函數的指數變化時對冪函數定義域的影響．
已知函數
,
的最大值是1,其圖像經過點
.
(1)求
的解析式，并判斷函數的奇偶性．
(2)已知
,且
,求
的值.
已知冪函數y=f(x)的圖象過點（2，
），試求出此函數的解析式，并寫出其定義域，判斷奇偶性，單調性．
），試求出此函數的解析式，并寫出其定義域，判斷奇偶性，單調性．
一、填空題
1．
2．
3．既不充分條件又不必要條件 4．[－4，－π]
[0，π]
5．
6．6 7．
8．2個 9．等腰直角三角形
10．
11．（-3，4），（-1，2）
12．①、②、⑤
13．
14．C
二、解答題
15．（本小題滿分14分）
解：（1）設
由
得
它的解集為（1，3）得方程
的兩根為1和3且a<0
即
……（1）
……3分
有等根得
……（2）
……6分
由(1)(2)及
得
故
的解析式為
……8分
（2）由
及
……10分
由
……12分
解得 
……14分
16．（本小題滿分14分）
解：由
得
，
………………………………2分
又
， ……………………………………6分
由
得
, …………………………10分
．
……14分
17．（本小題滿分15分）．
已知二次函數的二次項系數為
，且不等式的解集為
．
（1）若方程
有兩個相等的根，求的解析式；
（2）若的最大值為正數，求的取值范圍．
解：（1）設由得
它的解集為（1，3）得方程的兩根為1和3且a<0
即 ……（1）
……3分
有等根得
……（2）
……6分
由(1)(2)及得
故的解析式為
……8分
（2）由
及
……10分
由
……12分
解得 ……15分
18解：（1）當m＝2時，A＝（-2，2），B＝（-1，3）∴ A
B＝（-1，2）．……5分
（2）當m＜0時，B＝（1+m，1-m）
要使B
A，必須
，此時
m
當m＝0時，B＝
，BA；適合
……10分
當m＞0時，B＝（1-m，m＋1）
要使BA，必須
，此時0<m≤1． ……13分
∴綜上可知，使BA的實數m的取值范圍為[-1，1] ……15分
法2
要使BA，必須
，此時m1； ……13分
∴使BA的實數m的取值范圍為[-1，1] ……15分
18．（本小題滿分15分）
（1）解：由
得
，
． ………………2分
設
=
＜0(討論a＞1和0＜a＜1)，
得f(x)為R上的增函數． ………………5分
（2）由
， …………7分
即
得
， ………………9分
得1＜m＜
.
………………10分
（3）f(x)在R上為增函數)f(x) 當
時)f(x)-4的值恒為負數， ………13分
而f(x)在R上單調遞增得f(2)-40，
………………15分
19．（本小題滿分16分）
解：（1）∵f（x+1）為偶函數，
∴
恒成立，
即（
∴
．
∵函數f（x）的圖象與直線y=x相切，
∴二次方程
有兩相等實數根，
∴
………………6分
（2）
………………8分
即
為方程
的兩根
．
………………11分
∵m＜n且
．
故當
；
當k＞1時，
當k=1時，[m，n]不存在． ………………16分
20．（本小題滿分16分）
解：（1）若
為函數f(x)不動點，則有
，
整理得 
①
………………2分
根據題意可判斷方程①有兩個根，且這兩個根互為相反數，得
>
，
<0
所以b=3 ,a>0 ………………4分
而
，所以
．
即b=3，a>0，且a≠9. ………………5分
（2）在（1）的條件下，當a=8時，
．
由
，解得兩個不動點為
，……6分
設點P(x ,y),則y>3 ,即
>3解得x<-3 ．
………………8分
設點P(x，y)到直線A
．
………………10分
當且僅當
，即x=―4時，取等號，此時P(―4，4)． ……12分
（3）命題正確． ………………13分
因為f(x)定義在R上的奇函數，所以f(―0)=―f(0) ,所以0是奇函數f(x)的一個不動點．
設c≠0是奇函數f(x)的一個不動點,則f(c)=c
,由
，所以―c也是f (x)的一個不動點．
所以奇函數f(x)的非零不動點如果存在,則必成對出現，故奇函數f(x)的不動點數目是奇數個． ………………16分
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