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已知函數(shù)f（x）=mx³+nx²（m、n∈R，m≠0）的圖象在（2，f（2））處的切線與x軸平行．
（1）求n，m的關(guān)系式并求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）證明：對任意實(shí)數(shù)0＜x₁＜x₂＜1，關(guān)于x的方程：在（x₁，x₂）恒有實(shí)數(shù)解
（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，其實(shí)我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)f（x）是在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間（a，b）內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)x，使得．如我們所學(xué)過的指、對數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理?xiàng)l件．試用拉格朗日中值定理證明：
當(dāng)0＜a＜b時，（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性）．

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一、選擇題：每小題5分，共60分．

BDCBB   DCBCB   AA

二、填空題：每小題４分，共16分．

13. 300      14.（文），（理）3。       ⒖       ⒗①③④.

三、解答題：

17．解：（Ⅰ）∵ =（sinB，1－cosB) , 且與向量=（2，0）所成角為

∴ ，∴ tan = ，    又∵ 0<B<p Þ 0< < ，

∴ = ，∴ B = 。      

（Ⅱ）由（1）可得A + C = ，

 ∴，   8分

∵，∴， 10分，∴，

，當(dāng)且僅當(dāng)。  12分

18.(文科))解：設(shè)既會唱歌又會跳舞的有x人，則文娛隊(duì)中共有（7-x）人，那么只會一項(xiàng)的人數(shù)是（7-2 x）人． (I)∵，∴．

即,∴．∴x=2． 故文娛隊(duì)共有5人．(8分)

(II) .(12分)

(理科)解:(Ⅰ) 甲得66分(正確11題)的概率為,……2分

乙得54分(正確9題)的概率為,……4分

顯然，即甲得66分的概率與乙得54分的概率一樣大. ……6分

(Ⅱ)設(shè)答錯一題倒扣x分，則學(xué)生乙選對題的個數(shù)為隨機(jī)選擇20個題答對題的個數(shù)的期望為,得分為,

,令,得,

即每答錯一題應(yīng)該倒扣2分    ……12分

19．解：（Ⅰ）取BD中點(diǎn)N.連AN、MN.  就是異面直線AM與BC所成的角，在中，      （4分）

（Ⅱ）取BE中點(diǎn)P.連AP、PM,作于過作于連MH.  ， ，即AB  的平面角，在AMP中，

在ABP中，

二面角的大小，為   （8分）

（Ⅲ）若將圖(1)與圖(2)面ACD重合，該幾何體是5面體

這斜三棱柱的體積=3V_A-BCD=3´´´=                        （12分）

20．（文科） (Ⅰ) 　∵－(y＋3ax)＋(x³－1)＝0，∴＝(y＋3ax)－(x³－1)

∴(y＋3ax)＋[－(x³－1)]＝1，即y＝f(x)＝x³－3ax………………………2分

∴f^/(x)＝3x²－3a＝3(x²－a)…………………………………………………4分

　　　　當(dāng)a≤0時，f^/(x)＝3(x²－a)≥0對x∈R恒成立，f(x)的單調(diào)區(qū)間為(－∞，＋∞)

　　　　當(dāng)a＞0時，f^/(x)＞0，x＜－或x＞

f^/(x)＜0得－＜x＜…………………………………………6分

　　　　此時，函數(shù)f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上是增函數(shù)，

在(－，)上是減函數(shù)……………………………………8分

　　　　(Ⅱ)∵a＝1，∴f^/(x)＝3x²－3，直線4x＋y＋m＝0的斜率為－4………………9分

　　　　　假設(shè)f^/(x)＝－4，即3x²＋1＝0無實(shí)根

　　　　∴直線4x＋y＋m＝0不可能是函數(shù)f(x)圖象的切線………………………………12分

（理科）(Ⅰ)∵－[y＋2f ^/(1)]＋ln(x＋1)＝0，∴＝[y＋2f ^/(1)]－ln(x＋1)

由于A、B、C三點(diǎn)共線　即[y＋2f ^/(1)]＋[－ln(x＋1)]＝1…………………2分

∴y＝f(x)＝ln(x＋1)＋1－2f ^/(1)

f ^/(x)＝，得f ^/(1)＝，故f(x)＝ln(x＋1)…………………………………4分

（Ⅱ）令g(x)＝f(x)－，由g^/(x)＝－＝

         ∵x＞0，∴g^/(x)＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)………………6分

　　　　　　故g(x)＞g(0)＝0

           即f(x)＞………………………………………………………………8分

　　　（Ⅲ）原不等式等價于x²－f(x²)≤m²－2bm－3

　　　　令h(x)＝x²－f(x²)＝x²－ln(1＋x²)，由h^/(x)＝x－＝…………………10分

        當(dāng)x∈[－1，1]時，h(x)_max＝0，∴m²－2bm－3≥0

令Q(b)＝m²－2bm－3，則

得m≥3或m≤－3……………12分

21.解：（I）由

因直線相切    ，故所求橢圓方程為   （II）當(dāng)L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：                     

當(dāng)L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：由  

即兩圓相切于點(diǎn)（0，1）

因此，所求的點(diǎn)T如果存在，只能是（0，1）.事實(shí)上，點(diǎn)T（0，1）就是所求的點(diǎn)，證明如下。

當(dāng)直線L垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點(diǎn)T（0，1）

若直線L不垂直于x軸，可設(shè)直線L：

由

記點(diǎn)、

∴TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T（0，1）,故在坐標(biāo)平面上存在一個定點(diǎn)T（0，1）滿足條件.

22．(文科)解：（I）∵.  ∴曲線在點(diǎn)處的切線l_n的斜率為.

∴切線l_n的方程為.                （2分）

令得   ，∴.

依題意點(diǎn)在直線上，∴  又.          （4分）

∴數(shù)列是1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.     ∴.                 （5分）

（Ⅱ）由已知.

∴.                         ①

.               ②

①―②得

.   （9分）

∴       （10分）

又時，.

又當(dāng)時，.   ∴.∴當(dāng)時，.

∴           ∴.      （13分）綜上.  （14分）

22．(理科)解： (Ⅰ)∵f(1)＝1，∴f(x)＝e^a－1＝1   ∴a＝1         ……2分

(Ⅱ) x∈(0，1)時，f(x)＝xe，

f＇(x)＝e＋xe(－2x＋a)＝(－2x²＋ax＋1)e,……3分

  f＇(x)≥0，

∵t（0）＝1∴－2x²＋ax＋1＞0在(0，1)恒成立Þ t (1) ≥0Þa ≥1……4分

∴當(dāng)a≥1時，f(x)在(0，1)上是增函數(shù)；  ……5分

又當(dāng)a＝1時，f(x)在(0，＋∞)也是單調(diào)遞增的；   ……6分

當(dāng)a＞1時，∵＝e^a－1＞1=f(1)，此時，f(x)在(0，＋∞)不一定是增函數(shù).…… 7分

 (Ⅲ)當(dāng)x∈(0，1)時，g(x)＝lnf(x)＋x²－ax＝lnx，當(dāng)n≥2時，

欲證：－＜nk＝1－n，

即證－1－2－3－……－(n－1)＜ln＜1＋＋＋……＋－n
即需證

－1－2－3－……－(n－1)＜ln1＋ln＋ln＋……＋ln＜1＋＋＋……＋－n
猜想1－＜lnt＜t－1(其中0＜t＜1).……8分

構(gòu)造函數(shù)h(t)＝lnt－1＋(0＜t＜1)
∵h(yuǎn)＇(t)＝－＝＜0，∴h(t)在(0，1)上時單調(diào)遞減的，

∴h(t)＞h（1）=0，即有l(wèi)nt＞1－……10分

設(shè)s(t)＝lnt－t＋1(0＜t＜1)，

同理可證s(t)＜0，∴1－＜lnt＜t－1(0＜t＜1)成立   ……12分

分別取t＝，，……，(n≥2)，所得n－1個不等式相加即得：

－1－2－3－…－(n－1)＜ln1＋ln＋ln＋……＋ln＜1＋＋＋……＋－n

∴－＜nk＝1－n       ……14分