Question

已知函數f（x）=mx³+nx²（m、n∈R，m≠0）的圖象在（2，f（2））處的切線與x軸平行．
（1）求n，m的關系式并求f（x）的單調減區間；
（2）證明：對任意實數0＜x₁＜x₂＜1，關于x的方程：f′(x)-

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=0在（x₁，x₂）恒有實數解
（3）結合（2）的結論，其實我們有拉格朗日中值定理：若函數f（x）是在閉區間[a，b]上連續不斷的函數，且在區間（a，b）內導數都存在，則在（a，b）內至少存在一點x₀，使得f′(x0)=

f(b)-f(a)

b-a

．如我們所學過的指、對數函數，正、余弦函數等都符合拉格朗日中值定理條件．試用拉格朗日中值定理證明：
當0＜a＜b時，

b-a

b

＜ln

b

a

＜

b-a

a

（可不用證明函數的連續性和可導性）．

Answer 1

分析：（1）先對函數f（x）進行求導，又根據f'（2）=0可得到關于m的代數式．再將m的代數式n代入函數f（x）中消去n，可得f'（x）=3mx²-6mx，當f'（x）＞0時x的取值區間為所求．
（2）由于

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=m（x₁²+x₂²+x₁x₂-3x₁-3x₂）從而f′(x)-

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=0，可化為3x²-6x-x₁²-x₂²-x₁x₂+3x₁+3x₂=0，令h（x）=3x²-6x-x₁²-x₂²-x₁x₂+3x₁+3x₂，計算則h（x₁）h（x₂）＜0，根據零點存在定理得h（x）=0在區間（x₁，x₂）內必有解，從而得到證明；
（3）令g（x）=lnx，x∈（a，b），則g（x）符合拉格朗日中值定理的條件，即存在x₀∈（a，b），使g′(x0)=

g(b)-g(a)

b-a

=

lnb-lna

b-a

，由于函數g′（x）=

1

x

的性質即可證得結果．

解答：解：（1）因為f'（x）=3mx²+2nx，------（1分）
由已知有f'（2）=0，所以3m+n=0即n=-3m------（2分）
即f'（x）=3mx²-6mx，由f'（x）＞0知mx（x-2）＞0．
當m＞0時得x＜0或x＞2，f（x）的減區間為（0，2）；-----（3分）
當m＜0時得：0＜x＜2，f（x）的減區間為（-∞，0）和（2，+∞）；-----（4分）
綜上所述：當m＞0時，f（x）的減區間為（0，2）；
當m＜0時，f（x）的減區間為（-∞，0）和（2，+∞）；-----（5分）
（2）∵

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=m（x₁²+x₂²+x₁x₂-3x₁-3x₂），------------（6分）
∴f′(x)-

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=0，
可化為3x²-6x-x₁²-x₂²-x₁x₂+3x₁+3x₂=0，令h（x）=3x²-6x-x₁²-x₂²-x₁x₂+3x₁+3x₂-------（7分）
則h（x₁）=（x₁-x_2）（2x₁+x₂-3），h（x₂）=（x₂-x₁）（x₁+2x₂-3），
即h（x₁）h（x₂）=-（x₁-x₂）²（2x₁+x₂-3）（x₁+2x₂-3）又因為0＜x₁＜x₂＜1，所以（2x₁+x₂-3）＜0，（x₁+2x₂-3）＜0，即h（x₁）h（x₂）＜0，-----------（8分）
故h（x）=0在區間（x₁，x₂）內必有解，
即關于x的方程f′(x)-

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=0在（x₁，x₂）恒有實數解-----（9分）
（3）令g（x）=lnx，x∈（a，b），-----------（10分）
則g（x）符合拉格朗日中值定理的條件，即存在x₀∈（a，b），
使g′(x0)=

g(b)-g(a)

b-a

=

lnb-lna

b-a

-----------（11分）
因為g′（x）=

1

x

，由x∈（a，b），0＜a＜b可知g′（x）∈（

1

b

，

1

a

），b-a＞0-----（12分）
即

1

b

 ＜g′(x0)=

g(b)-g(a)

b-a

=

lnb-lna

b-a

=

ln b a

b-a

＜

1

a

，
∴

b-a

b

＜ln

b

a

＜

b-a

a

-----（14分）

點評：本小題主要考查導數的運算、利用導數研究曲線上某點切線方程、不等式的解法\拉格朗日中值定理等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．