Question

已知an=n∈N*求證：an＜1．

Answer 1

【答案】分析：首先分析題目已知a_n=求證：a_n＜1．考慮到可以應用數學歸納法求解，首先驗證當n=1時，不等式成立，再假設n=k（k≥1）時，不等式成立，推得當n=k+1時不等式也成立．即得證．
解答：證明：（1）當n=1時，a₁=＜1，不等式成立．
（2）假設n=k（k≥1）時，不等式成立，即a_k=＜1
亦即1+2²+3²+…+k²＜（k+1）k
當n=k+1時：a_k+1=＜==（）k＜1．
所以n=k+1時，不等式也成立．
由（1）、（2）知，對一切n∈N*，不等式都成立．
即a_n＜1得證．
點評：此題主要考查由數學歸納法證明不等式，數學歸納法在高考中屬于重要的考點，應用廣泛，需要同學們靈活掌握．