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如圖，一船在海上由西向東航行，在A處測得某島M的方位角為北偏東α角，前進m（km）后在B處測得該島的方位角為北偏東β角，已知該島周圍n（km）范圍內（包括邊界）有暗礁，現該船繼續東行，當α與β滿足條件

 

時，該船沒有觸礁危險．

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如圖，一船在海上由西向東航行，在A處測得某島M的北偏東α角，前進4km后在B處測得該島北偏東β角，已知該島周圍3.5km范圍內有暗礁，現該船繼續東行．
（1）若α=2β=60⁰，問該船有無觸礁危險？如果沒有，請說明理由；如果有，那么該船自B處向東航行多少距離會有觸礁危險？
（2）當α與β滿足什么條件時，該船沒有觸礁危險？

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如圖所示，甲船由A島出發向北偏東45°的方向作勻速直線航行，速度為15

2

海里/小時，在甲船從A島出發的同時，乙船從A島正南40海里處的B島出發，朝北偏東θ（tanθ=

1

2

）的方向作勻速直線航行，速度為m海里/小時．
（1）若兩船能相遇，求m．
（2）當m=10

5

時，求兩船出發后多長時間距離最近，最近距離為多少海里？

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    例10  為促進個人住房商品化的進程，我國1999年元月公布了個人住房公積金貸款利率和商業性貸款利率如下：

貸款期(年數)

公積金貸款月利率(‰)

商業性貸款月利率(‰)

……

11

12

13

14

15

……

……

4.365

4.455

4.545

4.635

4.725

……

……

5.025

5.025

5.025

5.025

5.025

……

    汪先生家要購買一套商品房，計劃貸款25萬元，其中公積金貸款10萬元，分十二年還清；商業貸款15萬元，分十五年還清．每種貸款分別按月等額還款，問：
    (1)汪先生家每月應還款多少元?
    (2)在第十二年底汪先生家還清了公積金貸款，如果他想把余下的商業貸款也一次性還清；那么他家在這個月的還款總數是多少?
    (參考數據：1.004455¹⁴⁴＝1.8966，1.005025¹⁴⁴＝2.0581，1.005025¹⁸⁰＝2.4651)

   講解  設月利率為r，每月還款數為a元，總貸款數為A元，還款期限為n月
　　第1月末欠款數　A(1＋r)－a
　　第2月末欠款數　[A(1＋r)－a](1＋r)－a＝ A(1＋r)²－a (1＋r)－a
    第3月末欠款數　[A(1＋r)²－a (1＋r)－a](1＋r)－a
　　　　　　　　　　　＝A(1＋r)³－a (1＋r)²－a(1＋r)－a
　　……
　　第n月末欠款數　
    得：                                  

　　對于12年期的10萬元貸款，n＝144，r＝4.455‰
　　∴
　　對于15年期的15萬元貸款，n＝180，r＝5.025‰
　　∴
　　由此可知，汪先生家前12年每月還款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月還款1268.22元．
　　(2)至12年末，汪先生家按計劃還款以后還欠商業貸款
　　　
　　其中A＝150000，a＝1268.22，r＝5.025‰  ∴X＝41669.53
    再加上當月的計劃還款數2210.59元，當月共還款43880.12元．   

    需要提及的是，本題的計算如果不許用計算器，就要用到二項展開式進行估算，這在2002年全國高考第（12）題中得到考查.

    例11  醫學上為研究傳染病傳播中病毒細胞的發展規律及其預防，將病毒細胞注入一只小白鼠體內進行實驗，經檢測，病毒細胞的增長數與天數的關系記錄如下表. 已知該種病毒細胞在小白鼠體內的個數超過10⁸的時候小白鼠將死亡．但注射某種藥物，將可殺死其體內該病毒細胞的98%．

（1）為了使小白鼠在實驗過程中不死亡，第一次最遲應在何時注射該種藥物？（精確到天）

（2）第二次最遲應在何時注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命？（精確到天）