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題目列表(包括答案和解析)

1、集合A={-1，0，1}，B={-2，-1，0}，則A∪B=

{-2，-1，0，1}

．

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2、命題“存在x∈R，使得x²+2x+5=0”的否定是

對任意x∈R，都有x²+2x+5≠0

．

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3、在等差數(shù)列{a_n}中，a₂+a₅=19，S₅=40，則a₁₀為

．

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5、函數(shù)y=a^2-x+1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

（2，2）

．

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例10 為促進(jìn)個人住房商品化的進(jìn)程，我國1999年元月公布了個人住房公積金貸款利率和商業(yè)性貸款利率如下：

貸款期(年數(shù))

公積金貸款月利率(‰)

商業(yè)性貸款月利率(‰)

……

4.365

4.455

4.545

4.635

4.725

……

5.025

……

    汪先生家要購買一套商品房，計劃貸款25萬元，其中公積金貸款10萬元，分十二年還清；商業(yè)貸款15萬元，分十五年還清．每種貸款分別按月等額還款，問：
    (1)汪先生家每月應(yīng)還款多少元?
    (2)在第十二年底汪先生家還清了公積金貸款，如果他想把余下的商業(yè)貸款也一次性還清；那么他家在這個月的還款總數(shù)是多少?
    (參考數(shù)據(jù)：1.004455¹⁴⁴＝1.8966，1.005025¹⁴⁴＝2.0581，1.005025¹⁸⁰＝2.4651)

   講解設(shè)月利率為r，每月還款數(shù)為a元，總貸款數(shù)為A元，還款期限為n月
　　第1月末欠款數(shù)　A(1＋r)－a
　　第2月末欠款數(shù)　[A(1＋r)－a](1＋r)－a＝ A(1＋r)²－a (1＋r)－a
    第3月末欠款數(shù)　[A(1＋r)²－a (1＋r)－a](1＋r)－a
　　　　　　　　　　　＝A(1＋r)³－a (1＋r)²－a(1＋r)－a
　　……
　　第n月末欠款數(shù)　
    得：

　　對于12年期的10萬元貸款，n＝144，r＝4.455‰
　　∴
　　對于15年期的15萬元貸款，n＝180，r＝5.025‰
　　∴
　　由此可知，汪先生家前12年每月還款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月還款1268.22元．
　　(2)至12年末，汪先生家按計劃還款以后還欠商業(yè)貸款
　　　
　　其中A＝150000，a＝1268.22，r＝5.025‰ ∴X＝41669.53
再加上當(dāng)月的計劃還款數(shù)2210.59元，當(dāng)月共還款43880.12元．

需要提及的是，本題的計算如果不許用計算器，就要用到二項(xiàng)展開式進(jìn)行估算，這在2002年全國高考第（12）題中得到考查.

例11 醫(yī)學(xué)上為研究傳染病傳播中病毒細(xì)胞的發(fā)展規(guī)律及其預(yù)防，將病毒細(xì)胞注入一只小白鼠體內(nèi)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，經(jīng)檢測，病毒細(xì)胞的增長數(shù)與天數(shù)的關(guān)系記錄如下表. 已知該種病毒細(xì)胞在小白鼠體內(nèi)的個數(shù)超過10⁸的時候小白鼠將死亡．但注射某種藥物，將可殺死其體內(nèi)該病毒細(xì)胞的98%．

（1）為了使小白鼠在實(shí)驗(yàn)過程中不死亡，第一次最遲應(yīng)在何時注射該種藥物？（精確到天）

（2）第二次最遲應(yīng)在何時注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命？（精確到天）

天數(shù)t

病毒細(xì)胞總數(shù)N

…

講解（1）由題意病毒細(xì)胞關(guān)于時間n的函數(shù)為, 則由

兩邊取對數(shù)得 n27.5,

即第一次最遲應(yīng)在第27天注射該種藥物.

（2）由題意注入藥物后小白鼠體內(nèi)剩余的病毒細(xì)胞為,

再經(jīng)過x天后小白鼠體內(nèi)病毒細(xì)胞為,

由題意≤10⁸，兩邊取對數(shù)得

，

故再經(jīng)過6天必須注射藥物，即第二次應(yīng)在第33天注射藥物．

本題反映的解題技巧是“兩邊取對數(shù)”，這對實(shí)施指數(shù)運(yùn)算是很有效的.

例12 有一個受到污染的湖泊，其湖水的容積為V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物質(zhì)與湖水能很好地混合，用g(t)表示某一時刻t每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù)，我們稱為在時刻t時的湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)，已知目前污染源以每天p克的污染物質(zhì)污染湖水，湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)滿足關(guān)系式g(t)= +［g(0)- ］?e(p≥0),其中，g(0)是湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù).

（1）當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時，求湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)；

（2）求證：當(dāng)g(0)< 時，湖泊的污染程度將越來越嚴(yán)重；

（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要經(jīng)過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%？

講解（1）∵g(t)為常數(shù), 有g(shù)(0)-=0, ∴g(0)= .

(2) 我們易證得0<t₁<t₂, 則

g(t₁)-g(t₂)=［g(0)- ］e-［g(0)- ］e=［g(0)- ］［e-e］=［g(0)- ］,

∵g(0)?<0,t₁<t₂,e>e,

∴g(t₁)<g(t₂) .

故湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)隨時間變化而增加，污染越來越嚴(yán)重.

(3)污染停止即P=0，g(t)=g(0)?e,設(shè)經(jīng)過t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)?

∴=e，∴t= ln20，

故需要 ln20天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%.

高考應(yīng)用性問題的熱門話題是增減比率型和方案優(yōu)化型, 另外,估測計算型和信息遷移型也時有出現(xiàn).當(dāng)然,數(shù)學(xué)高考應(yīng)用性問題關(guān)注當(dāng)前國內(nèi)外的政治,經(jīng)濟(jì),文化, 緊扣時代的主旋律,凸顯了學(xué)科綜合的特色,是歷年高考命題的一道亮麗的風(fēng)景線.

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