題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分12分)
有一幅橢圓型彗星軌道圖，長4cm，高
，如下圖，
已知O為橢圓中心，A1，A2是長軸兩端點，
|
（Ⅰ）建立適當的坐標系，寫出橢圓方程，
并求出當彗星運行到太陽正上方時二者在圖上的距離；
（Ⅱ）直線l垂直于A1A2的延長線于D點，|OD|=4，
設P是l上異于D點的任意一點，直線A1P，A2P分別
交橢圓于M、N（不同于A1，A2）兩點，問點A2能否
在以MN為直徑的圓上？試說明理由.
有一幅橢圓型彗星軌道圖，長4 cm，高
，如下圖，已知O為橢圓中心，A1，A2是長軸兩端點，太陽位于橢圓的左焦點F處．
(Ⅰ)建立適當的坐標系，寫出橢圓方程，并求出當彗星運行到太陽正上方時二者在圖上的距離；
(Ⅱ)直線l垂直于A1A2的延長線于D點，|OD|＝4，設P是l上異于D點的任意一點，直線A1P，A2P分別交橢圓于M、N(不同于A1，A2)兩點，問點A2能否在以MN為直徑的圓上？試說明理由．
一、選擇題（本大題共10小題，每題5分，共50分）
1．C 2．A 3．B 4．D 5．B
6．B 7．C 8．D 9．D 10．A
二、填空題（本大題共7小題，每題4分，共28分）
11．2 12．45 13．
14．
15．1 16．144 17．
三、解答題（本大題共5小題，第18―20題各14分，第21、22題各15分，共72分）
18．（1）因為
（4分）
所以
（Ⅱ）由（I）得，
（10分）
因為
所以
，所以
（12分）
因此，函數
的值域為
。（14分）
19．（I）因為
，所以
平面
。 （3分）
又因為
平面
所以
①（5分）
在
中，
，由余弦定理，
得
因為
，所以
，即
。② （7分）
由①，②及
，可得
平面
（8分）
（Ⅱ）方法一；
在
中，過
作
于
，則
，所以
平面
在
中，過作
于
，連
，則
平面
，
所以
為二面角
的平面角 （11分）
在
中，求得
，
在
中，求得
，
所以
所以
。
因此，所求二面角的大小的余弦值為
。
方法二：
如圖建立空間直角坐標系
（9分）
則
設平面
的法向量為
，
則
所以
，取
，
則
（11分）
又設平面的法向量為
，
則
，取
，則
（13分）
所以，
因此，所求二面角的大小余弦值為。
20．（I）
（6分）
（Ⅱ）
1
2
3
4
5
（14分）
21．（I）由題意得
（3分）
解得
（5分）
所以橢圓方程為
（6分）
（Ⅱ）直線
方程為
，則的坐標為
（7分）
設
則
，
直線
方程為
令
，得
的橫坐標為
① （10分）
又
得
得
， （12分）
代入①得
， （14分）
得
， 
為常數4 （15分）
22．（I）
（2分）
由于
，故嘗
時，
，所以
， （4分）
故函數在
上單調遞增。 （5分）
（Ⅱ）令
，得到
（6分）
的變化情況表如下： （8分）
0
一
0
+
極小值
因為函數
有三個零點，所以
有三個根，
有因為當
時，
，
所以
，故
（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知在區間上單調遞減，在區間
上單調遞增。
所以
（11分）
記
則
（僅在
時取到等號），
所以
遞增，故
，
所以
（13分）
于是
故對
，所以
（15分）
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