Question

(本小題滿分12分)

有一幅橢圓型彗星軌道圖，長4cm，高，如下圖，

已知O為橢圓中心，A₁，A₂是長軸兩端點，

太陽位于橢圓的左焦點F處.

   （Ⅰ）建立適當的坐標系，寫出橢圓方程，

并求出當彗星運行到太陽正上方時二者在圖上的距離；

   （Ⅱ）直線l垂直于A₁A₂的延長線于D點，|OD|=4，

設P是l上異于D點的任意一點，直線A₁P，A₂P分別

交橢圓于M、N（不同于A₁，A₂）兩點，問點A₂能否

在以MN為直徑的圓上？試說明理由.

Answer 1

（I）距離為1.5㎝

（Ⅱ）點A₂不在以MN為直徑的圓上

解析:

（I）建立圖示的坐標系，設橢圓方程為依題意，2a=4，

橢圓方程為……2分

F（－1，0）將x=－1代入橢圓方程得

∴當彗星位于太陽正上方時，二者在圖中的距離為1.5㎝.5分

（Ⅱ）由（I）知，A₁（－2，0），A₂（2，0），

設M（在橢圓上，

又點M異于頂點A₁，A₂，∴－2＜x₀＜2，

由P、M、A₁三點共線可得P

…8分10分

∴P、A₂、N三點共線，∴直線A₂M與NA₂不垂直，

∴點A₂不在以MN為直徑的圓上……12分